Вариант 3 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 13. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения

Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} y^2-xy+x=2, \\ 5y+x=12; \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} x^2+5xy=-4, \\ 3xy+16y^2=13; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} (x-1)(y+2)=0, \\ x^2+2y^2-4xy=17; \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} x^2y^2+xy^3=192, \\ x^3y+x^2y^2=96. \end{cases}$$

1)

$$\begin{cases} y^2-xy+x=2,\\ 5y+x=12 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=12-5y.$$
Подставим в первое:
$$y^2-y(12-5y)+(12-5y)=2,$$
$$y^2-12y+5y^2+12-5y=2,$$
$$6y^2-17y+10=0.$$
Найдём корни:
$$D=17^2-4\cdot 6\cdot 10=289-240=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{17\pm 7}{12}.$$
Тогда
$$y_1=\frac{5}{6},\quad y_2=2.$$
Найдём соответствующие значения $$x$$:
$$x_1=12-5\cdot \frac{5}{6}=\frac{47}{6},\quad x_2=12-5\cdot 2=2.$$

Ответ: $$\left(\frac{47}{6};\frac{5}{6}\right),\ (2;2).$$

2)

$$\begin{cases} (x-1)(y+2)=0,\\ x^2+2y^2-4xy=17 \end{cases}$$
Из первого уравнения получаем два случая.

1. $$x=1.$$ Тогда

   $$1+2y^2-4y=17,$$
   $$2y^2-4y-16=0,$$
   $$y^2-2y-8=0.$$
   $$D=4+32=36,\quad y_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}.$$
   Отсюда
   $$y_1=-2,\quad y_2=4.$$
   Получаем точки $$(1;-2)$$ и $$(1;4).$$

2. $$y=-2.$$ Тогда

   $$x^2+8x+8-17=0,$$
   $$x^2+8x-9=0.$$
   $$D=64+36=100,\quad x_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{2}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-9,\quad x_2=1.$$
   Получаем точки $$(-9;-2)$$ и $$(1;-2).$$

Ответ: $$(1;-2),\ (1;4),\ (-9;-2).$$

3)

$$\begin{cases} x^2+5xy=-4,\\ 3xy+16y^2=13 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$x^2+8xy+16y^2=9,$$
$$(x+4y)^2=9.$$
Тогда
$$x+4y=\pm 3.$$
Рассмотрим два случая.

1. $$x+4y=3,\quad x=3-4y.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$3y(3-4y)+16y^2=13,$$
   $$9y-12y^2+16y^2=13,$$
   $$4y^2+9y-13=0.$$
   $$D=9^2+4\cdot 4\cdot 13=289,\quad y_{1,2}=\frac{-9\pm 17}{8}.$$
   Отсюда
   $$y_1=1,\quad y_2=-\frac{13}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=3-4\cdot 1=-1,\quad x_2=3-4\cdot\left(-\frac{13}{4}\right)=16.$$

2. $$x+4y=-3,\quad x=-3-4y.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$3y(-3-4y)+16y^2=13,$$
   $$-9y-12y^2+16y^2=13,$$
   $$4y^2-9y-13=0.$$
   $$D=289,\quad y_{1,2}=\frac{9\pm 17}{8}.$$
   Отсюда
   $$y_3=-1,\quad y_4=\frac{13}{4}.$$
   Тогда
   $$x_3=-3-4(-1)=1,\quad x_4=-3-4\cdot \frac{13}{4}=-16.$$

Ответ: $$(16;-\frac{13}{4}),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (-16;\frac{13}{4}).$$

4)

$$\begin{cases} x^2y^2+xy^3=192,\\ x^3y+x^2y^2=96 \end{cases}$$
Вынесем общий множитель:
$$xy^2(x+y)=192,$$
$$x^2y(x+y)=96.$$
Так как $$x\neq 0$$, $$y\neq 0$$ и $$x+y\neq 0$$, разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{xy^2(x+y)}{x^2y(x+y)}=\frac{192}{96},$$
$$\frac{y}{x}=2,$$
то есть
$$y=2x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2(2x)^2+x(2x)^3=192,$$
$$4x^4+8x^4=192,$$
$$12x^4=192,$$
$$x^4=16.$$
Отсюда
$$x=\pm 2.$$
Тогда
$$y=2x \Rightarrow y=\pm 4.$$

Ответ: $$(-2;-4),\ (2;4).$$