Вариант 3 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 12. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными
- Решите графически систему уравнений $$\begin{cases}x^2+y^2=13,\\xy=-6.\end{cases}$$
- Определите графически количество решений системы уравнений $$\begin{cases}|y|=x,\\y=-x^2+5x+1.\end{cases}$$
- Сколько решений имеет система уравнений $$\begin{cases}4x+ay=16-a,\\ax+16y=16\end{cases}$$ в зависимости от значения параметра $$a$$?
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=-6. \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем
$$y=-\frac{6}{x}, \quad x\neq 0.$$
Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{13}$$.
Точки пересечения окружности и гиперболы находятся подбором или по графику:
$$(-3;2),\;(-2;3),\;(2;-3),\;(3;-2).$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} |y|=x,\\ y=-x^2+5x+1. \end{cases}$$
Из уравнения $$|y|=x$$ следует, что $$x\ge 0$$ и
$$y=x \quad \text{или} \quad y=-x.$$
Тогда нужно найти точки пересечения параболы с прямыми $$y=x$$ и $$y=-x$$.
1) Для $$y=x$$:
$$x=-x^2+5x+1$$
$$x^2-4x-1=0.$$
Это уравнение имеет один подходящий корень $$x=2+\sqrt{5}$$, значит есть одна точка пересечения.
2) Для $$y=-x$$:
$$-x=-x^2+5x+1$$
$$x^2-6x-1=0.$$
Это уравнение имеет один подходящий корень $$x=3+\sqrt{10}$$, значит есть ещё одна точка пересечения.
Следовательно, система имеет 2 решения.
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 4x+ay=16-a,\\ ax+16y=16. \end{cases}$$
Определим число решений в зависимости от параметра $$a$$.
Найдём определитель системы:
$$\Delta= \begin{vmatrix} 4 & a\\ a & 16 \end{vmatrix} =64-a^2.$$
Если $$\Delta\neq 0$$, то система имеет единственное решение, то есть при $$a\neq \pm 8$$ решений ровно одно.
Если $$a=8$$, то
$$\begin{cases} 4x+8y=8,\\ 8x+16y=16, \end{cases}$$
второе уравнение получается из первого умножением на 2, значит решений бесконечно много.
Если $$a=-8$$, то
$$\begin{cases} 4x-8y=24,\\ -8x+16y=16, \end{cases}$$
коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет, значит решений нет.
Ответ
1) $$(-3;2),\;(-2;3),\;(2;-3),\;(3;-2).$$ 2) $$2$$ решения. 3) При $$a\neq \pm 8$$ — одно решение; при $$a=-8$$ — решений нет; при $$a=8$$ — бесконечно много решений.
