Вариант 3 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 9. Решение неравенств методом интервалов

1. Решите неравенство:
   
   1) $$(x+4)(x-9)(x-17)<0;$$
   2) $$(x-8)^8(5x+1)^5(11-x)>0;$$
   
   3) $$\frac{3x}{x^2-3x+2}+\frac{5}{x-1}\ ?\ \frac{4}{x-2};$$
   
   4) $$(x^2-25)\mathord{v}(x^2-9)\ ?\ 0.$$
2. Найдите множество решений неравенства $$|x-a|(3x^2-2x-1)\ ?\ 0$$ в зависимости от значения параметра $$a$$.

1. $$\left(x+4\right)\left(x-9\right)\left(x-17\right)<0$$

   Нули произведения: $$x=-4,\; x=9,\; x=17.$$

   Рассматриваем знаки на промежутках, получаем:

   $$x\in(-\infty;-4)\cup(9;17).$$

2. $$\left(x-8\right)^8\left(5x+1\right)^5\left(11-x\right)>0$$

   Так как $$\left(x-8\right)^8\ge 0,$$ то для строгого неравенства нужно $$x\ne 8.$$

   Знак выражения определяется произведением $$\left(5x+1\right)\left(11-x\right).$$

   Решаем неравенство:

   $$\left(5x+1\right)\left(11-x\right)>0.$$

   Его нули: $$x=-\frac15,\; x=11.$$

   Тогда

   $$x\in\left(-\frac15;11\right).$$

   Исключаем $$x=8.$$

   Ответ:

   $$x\in\left(-\frac15;8\right)\cup(8;11).$$

3. $$\frac{3x}{x^2-3x+2}+\frac{5}{x-1}\ge \frac{4}{x-2}$$

   ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 2.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3x+5(x-2)-4(x-1)}{(x-1)(x-2)}\ge 0$$

   $$\frac{3x+5x-10-4x+4}{(x-1)(x-2)}\ge 0$$

   $$\frac{4x-6}{(x-1)(x-2)}\ge 0$$

   $$\frac{2x-3}{(x-1)(x-2)}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=1,\; x=\frac32,\; x=2.$$

   По методу интервалов получаем:

   $$x\in(1;\tfrac32]\cup(2;+\infty).$$

4. $$\left(x^2-25\right)\sqrt{x^2-9}\ge 0$$

   ОДЗ: $$x^2-9\ge 0,$$ то есть

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

   Так как $$\sqrt{x^2-9}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, когда

   $$x^2-25\ge 0$$

   или когда $$\sqrt{x^2-9}=0.$$

   Имеем:

   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 5,$$

   а также $$x=\pm 3.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in(-\infty;-5]\cup\{-3,3\}\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1. $$(-\infty;-4)\cup(9;17)$$
2. $$\left(-\frac15;8\right)\cup(8;11)$$
3. $$\left(1;\frac32\right]\cup(2;+\infty)$$
4. $$(-\infty;-5]\cup\{-3,3\}\cup[5;+\infty)$$