Вариант 3 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$-x^2-x+30<0$$;
2) $$3x^2+2x+4>0$$;
3) $$16x^2+24x+9?0$$. - Найдите область определения функции $$y=\sqrt{x^2-x-30}+\frac{2x-1}{\sqrt{36-4x}}$$.
- Решите неравенство $$\lvert x^2-15\rvert>x+15$$.
- При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$ax^2-4x+a+3<0$$ выполняется при всех действительных значениях $$x$$?
1) $$-x^2-x+30<0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак неравенства:
$$x^2+x-30>0$$
Разложим на множители:
$$x^2+x-30=(x+6)(x-5)$$
Тогда
$$(x+6)(x-5)>0$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
$$x<-6 \quad \text{или} \quad x>5$$
Ответ: $$(-\infty;-6)\cup(5;+\infty)$$
2) $$3x^2+2x+4>0$$
Найдём дискриминант:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot 4=4-48=-44<0$$
Так как $$a=3>0$$, а корней нет, то квадратный трёхчлен всегда положителен.
Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$
3) $$16x^2+24x+9\le 0$$
Заметим, что
$$16x^2+24x+9=(4x+3)^2$$
Тогда
$$(4x+3)^2\le 0$$
Квадрат неотрицателен, значит равенство возможно только при
$$4x+3=0$$
$$x=-\frac34$$
Ответ: $$-\frac34$$
2. Найдём область определения функции
$$y=\sqrt{x^2-x-30}+\frac{2x-1}{\sqrt{36-4x}}$$
Подкоренное выражение в корне должно быть неотрицательным, а знаменатель — строго положительным:
$$x^2-x-30\ge 0$$
$$36-4x>0$$
Решим первое неравенство:
$$x^2-x-30=(x-6)(x+5)$$
$$(x-6)(x+5)\ge 0$$
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 6$$
Второе неравенство:
$$36-4x>0$$
$$x<9$$
Пересекаем условия:
$$(-\infty;-5]\cup[6;9)$$
Ответ: $$(-\infty;-5]\cup[6;9)$$
3. $$|x^2-15|>x+15$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2-15\ge 0$$, тогда $$|x^2-15|=x^2-15$$ и
$$x^2-15>x+15$$
$$x^2-x-30>0$$
$$(x-6)(x+5)>0$$
$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>6$$
С учётом условия $$x^2-15\ge 0$$ получаем:
$$x\le -\sqrt{15} \quad \text{или} \quad x\ge \sqrt{15}$$
Пересечение даёт:
$$(-\infty;-\sqrt{15}]\cup[\sqrt{15};+\infty)$$
2) $$x^2-15<0$$, тогда $$|x^2-15|=15-x^2$$ и
$$15-x^2>x+15$$
$$-x^2-x>0$$
$$x(x+1)<0$$
$$-1<x<0$$
С учётом условия $$x^2-15<0$$ это условие сохраняется.
Объединяя полученные промежутки, получаем:
Ответ: $$(-\infty;-\sqrt{15}]\cup(-1;0)\cup[\sqrt{15};+\infty)$$
4. $$ax^2-4x+a+3<0$$ выполняется при всех действительных $$x$$.
Чтобы квадратный трёхчлен был отрицателен при всех $$x$$, необходимо:
$$a<0$$
и дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=(-4)^2-4a(a+3)<0$$
$$16-4a^2-12a<0$$
$$a^2+3a-4>0$$
$$(a+4)(a-1)>0$$
$$a<-4 \quad \text{или} \quad a>1$$
С учётом условия $$a<0$$ получаем:
$$a<-4$$
Ответ: $$(-\infty;-4)$$
