Вариант 3 Самостоятельная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 7. Квадратичная функция, её график и свойства
- Постройте график функции $$f(x)=x^2+2x-3$$. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства:
а) $$f(x)\geq 0$$;
б) $$f(x)<0$$;
4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:
а) $$[-3;4]$$;
б) $$[1;4]$$. - Пусть $$D$$ — дискриминант квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$. Изобразите схематически график квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$, если $$a<0$$, $$D>0$$, $$c<0$$, $$-\frac{b}{2a}<0$$.
- При каких значениях параметра $$a$$ произведение корней уравнения $$x^2-2ax+a^2-4a+12=0$$ принимает наименьшее значение?
1) $$f(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-4.$$
Вершина параболы: $$(-1;\,-4).$$ Ветви направлены вверх, значит наименьшее значение функции равно $$-4,$$ а область значений:
$$E(y)=[-4;\,+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и возрастает на $$[-1;\,+\infty).$$
Найдём нули функции:
$$x^2+2x-3=0$$
$$(x+3)(x-1)=0,$$
откуда $$x=-3$$ и $$x=1.$$
Тогда:
$$f(x)\ge 0,\quad x\in(-\infty;\,-3]\cup[1;\,+\infty),$$
$$f(x)<0,\quad x\in(-3;\,1).$$
На отрезке $$[-3;\,4]$$ наибольшее значение достигается в точке $$x=4$$:
$$f(4)=16+8-3=21,$$
а наименьшее — в вершине:
$$f(-1)=-4.$$
На отрезке $$[1;\,4]$$ наименьшее значение:
$$f(1)=0,$$
а наибольшее:
$$f(4)=21.$$
2) Так как $$a<0,$$ ветви параболы направлены вниз. Условие $$D>0$$ означает, что график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках. Из $$c<0$$ следует, что график пересекает ось $$Oy$$ ниже оси $$Ox.$$
Кроме того, $$-\dfrac{b}{2a}<0,$$ значит абсцисса вершины отрицательна, то есть вершина расположена левее оси $$Oy.$$
3) По теореме Виета произведение корней уравнения
$$x^2-2ax+a^2-4a+12=0$$
равно
$$x_1x_2=a^2-4a+12.$$
Рассмотрим выражение
$$a^2-4a+12=(a-2)^2+8.$$
Минимум оно принимает при $$a=2.$$
Ответ
1) $$E(y)=[-4;\,+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$, возрастает на $$[-1;\,+\infty);$$
$$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;\,-3]\cup[1;\,+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-3;\,1);$$
на $$[-3;\,4]$$: $$y_{\max}=21,$$ $$y_{\min}=-4;$$ на $$[1;\,4]$$: $$y_{\max}=21,$$ $$y_{\min}=0.$$
2) Парабола направлена вниз, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках, ось $$Oy$$ ниже оси $$Ox$$, вершина левее оси $$Oy.$$
3) $$a=2.$$
