Вариант 3 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: 1) $$y=\left|\sqrt{x}-5\right|$$; 2) $$y=\sqrt{|x|-5}$$; 3) $$y=\sqrt{|x-5|}$$; 4) $$y=\sqrt{|x-5|-5}$$.
2. Функция $$f$$ такова, что $$D(f)=[-1;5)$$ и $$E(f)=[-8;6)$$. Найдите область определения и область значений функции $$|f(|x|)|$$.
3. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$|2|x|-3|=x-a$$ имеет три корня?

1) Рассмотрим каждую функцию по частям.

1. $$y=\left|\sqrt{x}-5\right|.$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то сначала строим график $$y=\sqrt{x},$$ затем сдвигаем его вниз на $$5$$ единиц и берём модуль. Получаем график, симметричный относительно оси $$Ox$$ там, где значения отрицательны.

2. $$y=\sqrt{|x|-5}.$$

   Область определения задаётся условием

   $$|x|-5\ge 0 \;\Rightarrow\; |x|\ge 5 \;\Rightarrow\; x\le -5 \text{ или } x\ge 5.$$

   График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $$Oy.$$

3. $$y=\sqrt{|x-5|}.$$

   Это график функции $$y=\sqrt{|x|}$$, сдвинутый вправо на $$5$$ единиц. Минимум достигается при $$x=5,$$ где $$y=0.$$

4. $$y=\sqrt{|x-5|-5}.$$

   Область определения:

   $$|x-5|-5\ge 0 \;\Rightarrow\; |x-5|\ge 5 \;\Rightarrow\; x\le 0 \text{ или } x\ge 10.$$

   График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $$x=5.$$

2.

Дано: $$D(f)=[-1;5), \quad E(f)=[-8;6).$$

Для функции $$|f(|x|)|$$ нужно, чтобы $$|x|$$ принадлежало области определения функции $$f.$$ Тогда

$$-1\le |x|<5.$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ получаем

$$|x|<5 \;\Rightarrow\; -5<x<5.$$

Значит,

$$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-5;5).$$

Для значений функции: если $$f(x)\in[-8;6),$$ то после взятия модуля получаем

$$|f(x)|\in[0;8].$$

Следовательно,

$$E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;8].$$

3.

Решим уравнение

$$|2|x|-3|=x-a.$$

Левая часть — чётная функция, поэтому рассмотрим случаи.

При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x,$$ и уравнение принимает вид

$$|2x-3|=x-a.$$

График левой части состоит из двух лучей с вершиной в точке $$\left(\frac32,0\right).$$ Чтобы уравнение имело ровно три корня, прямая $$y=x-a$$ должна пересечь этот график в трёх точках. Это происходит при двух значениях параметра:

$$a=-3 \quad \text{и} \quad a=-\frac32.$$

Ответ:

1) $$y=\left|\sqrt{x}-5\right|,$$ $$y=\sqrt{|x|-5},$$ $$y=\sqrt{|x-5|},$$ $$y=\sqrt{|x-5|-5}.$$

2) $$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-5;5), \quad E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;8].$$

3) $$a=-3,\; -\dfrac32.$$