Вариант 3 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Каковы координаты вершины параболы: 1) $$y=x^2+12$$; 2) $$y=(x-7)^2$$; 3) $$y=(x+20)^2+1$$?
2. Постройте график функции $$y=\sqrt{x}$$. Используя этот график, постройте график функции: 1) $$y=\sqrt{x}+1$$; 2) $$y=1+\sqrt{x+2}$$.
3. Постройте график функции $$y=\frac{3x}{x+2}$$.
4. Сколько корней имеет уравнение $$|x+2|=a-x^2$$ в зависимости от значения параметра $$a$$?

1. Координаты вершины параболы:

1. $$y=x^2+12$$ — вершина $$\left(0;12\right)$$;
2. $$y=(x-7)^2$$ — вершина $$\left(7;0\right)$$;
3. $$y=(x+20)^2+1$$ — вершина $$\left(-20;1\right)$$.

2. График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем:

1. для $$y=\sqrt{x}+1$$ — на 1 единицу вверх;
2. для $$y=1+\sqrt{x+2}$$ — на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх.

3. Преобразуем функцию:

$$y=\frac{3x}{x+2}=\frac{3x+6-6}{x+2}=3-\frac{6}{x+2}.$$

Это гипербола с асимптотами $$x=-2$$ и $$y=3$$.

4. Решим уравнение $$|x+2|=a-x^2$$.

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$a-x^2\ge 0$$. Рассмотрим случаи:

Если $$x\ge -2$$, то $$|x+2|=x+2$$ и

$$x+2=a-x^2 \;\Rightarrow\; x^2+x+(2-a)=0.$$

Дискриминант:

$$D=1-4(2-a)=4a-7.$$

Корни существуют при $$D\ge 0$$, то есть при $$a\ge \frac74$$.

Если $$a=\frac74$$, то уравнение имеет один корень.

Если $$a>\frac74$$, то уравнение имеет два корня.

Если $$a<\frac74$$, корней нет.

Ответ:

1) $$\left(0;12\right),\ \left(7;0\right),\ \left(-20;1\right)$$;

2) графики получаются сдвигом графика $$y=\sqrt{x}$$;

3) $$y=3-\dfrac{6}{x+2}$$, асимптоты $$x=-2$$ и $$y=3$$;

4) при $$a<\dfrac74$$ корней нет, при $$a=\dfrac74$$ один корень, при $$a>\dfrac74$$ два корня.