Вариант 3 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график уравнения:
   
   1) $$x^2+y^2-2x+4y+5=0$$;
   
   3) $$|y-3|=\sqrt{x}$$;
   
   2) $$16x^2-y^2=0$$;
   
   4) $$\frac{x^2+y^2-4}{x^2-1}=0$$.
2. Решите уравнение $$\left(x^2-6x+12\right)\left(y^2-10y+28\right)=9$$.

1. $$x^2+y^2-2x+4y+5=0$$

   Сгруппируем и дополним до квадратов:

   $$x^2-2x+1+y^2+4y+4=0$$

   $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$x-1=0,\quad y+2=0$$

   $$x=1,\quad y=-2$$

   График — одна точка $$\left(1;\,-2\right)$$.

2. $$16x^2-y^2=0$$

   $$y^2=16x^2$$

   $$|y|=4|x|$$

   Отсюда получаем две прямые:

   $$y=4x \quad \text{и} \quad y=-4x$$

3. $$|y-3|=\sqrt{x}$$

   Так как справа стоит корень, то $$x\ge 0$$.

   Рассмотрим два случая:

   Если $$y\ge 3$$, то

   $$y-3=\sqrt{x},\quad y=\sqrt{x}+3$$

   Если $$y\le 3$$, то

   $$3-y=\sqrt{x},\quad y=3-\sqrt{x}$$

   График состоит из двух ветвей с вершиной в точке $$\left(0;\,3\right)$$.

4. $$\frac{x^2+y^2-4}{x^2-1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$x^2+y^2-4=0,\quad x^2-1\ne 0$$

   $$x^2+y^2=4,\quad x\ne \pm 1$$

   Это окружность с центром в начале координат и радиусом $$2$$, но точки с абсциссами $$x=\pm 1$$ не входят в график.

Ответ

1) $$\left(1;\,-2\right)$$; 2) $$y=4x$$ и $$y=-4x$$; 3) $$y=\sqrt{x}+3$$ и $$y=3-\sqrt{x}$$, $$x\ge 0$$; 4) $$x^2+y^2=4,\ x\ne \pm 1$$.

$$\left(x;\,y\right)=\left(3;\,5\right)$$