Вариант 3 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму $$\frac{6}{5}+\frac{51}{25}+\frac{376}{125}+\ldots+\frac{5^n\cdot n+1}{5^n}$$.
2. Найдите сумму $$\left(5+\frac{1}{5}\right)^2+\left(5^2+\frac{1}{5^2}\right)^2+\left(5^3+\frac{1}{5^3}\right)^2+\ldots+\left(5^n+\frac{1}{5^n}\right)^2$$.
3. Найдите сумму $$\frac{1}{5\cdot11}+\frac{1}{11\cdot17}+\frac{1}{17\cdot23}+\ldots+\frac{1}{(6n-1)(6n+5)}$$.

1. Преобразуем общий член ряда:

$$\frac{5^k\cdot k+1}{5^k}=k+\frac{1}{5^k}.$$

Тогда

$$S_n=\left(1+\frac15\right)+\left(2+\frac1{25}\right)+\cdots+\left(n+\frac1{5^n}\right).$$

Разобьём сумму на две:

$$S_n=(1+2+\cdots+n)+\left(\frac15+\frac1{25}+\cdots+\frac1{5^n}\right).$$

Первая сумма:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Вторая сумма — геометрическая прогрессия:

$$\frac15+\frac1{25}+\cdots+\frac1{5^n}=\frac15\cdot\frac{1-\left(\frac15\right)^n}{1-\frac15}=\frac14\left(1-\frac1{5^n}\right).$$

Следовательно,

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}+\frac14-\frac{1}{4\cdot 5^n}.$$

2. Раскроем квадрат:

$$\left(5^k+\frac1{5^k}\right)^2=5^{2k}+2+\frac1{5^{2k}}.$$

Тогда

$$S_n=\sum_{k=1}^n\left(5^{2k}+2+\frac1{5^{2k}}\right)=2n+\sum_{k=1}^n 25^k+\sum_{k=1}^n \frac1{25^k}.$$

Суммируем геометрические прогрессии:

$$\sum_{k=1}^n 25^k=\frac{25(25^n-1)}{25-1}=\frac{25^{n+1}-25}{24},$$

$$\sum_{k=1}^n \frac1{25^k}=\frac{\frac1{25}\left(1-\left(\frac1{25}\right)^n\right)}{1-\frac1{25}}=\frac1{24}\left(1-\frac1{25^n}\right).$$

Значит,

$$S_n=2n+\frac{25^{n+1}-25}{24}+\frac1{24}\left(1-\frac1{25^n}\right).$$

После упрощения получаем:

$$S_n=2n+\frac{25^{n+1}}{24}-\frac{1}{24\cdot 25^n}-1.$$

3. Разложим каждый член на разность дробей:

$$\frac1{(6k-1)(6k+5)}=\frac16\left(\frac1{6k-1}-\frac1{6k+5}\right).$$

Тогда сумма телескопическая:

$$S_n=\frac16\left(\frac15-\frac1{6n+5}\right).$$

Упростим:

$$S_n=\frac1{30}-\frac1{6(6n+5)}.$$

Ответ:

1) $$\frac{n(n+1)}{2}+\frac14-\frac{1}{4\cdot 5^n}$$

2) $$2n+\frac{25^{n+1}}{24}-\frac{1}{24\cdot 25^n}-1$$

3) $$\frac1{30}-\frac1{6(6n+5)}$$