Вариант 3 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: а) $$-96, 24, -6, \ldots$$; б) $$15, 5\sqrt{3}, 5, \ldots$$.
- Запишите в виде обыкновенной дроби число: а) $$0,444\ldots$$; б) $$3,7(32)$$.
- В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$, где $$|q|<1$$, сумма членов с нечётными номерами равна $$45$$, а сумма членов с чётными номерами равна $$9$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
1) $$b_1=-96,\quad b_2=24,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{24}{-96}=-\frac14.$$
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-96}{1-(-\frac14)}=\frac{-96}{1+\frac14}=\frac{-96}{\frac54}=-96\cdot\frac45=-76{,}8.$$
2) $$b_1=15,\quad b_2=5\sqrt3,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{5\sqrt3}{15}=\frac{\sqrt3}{3}.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{45}{3-\sqrt3}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$S=\frac{45(3+\sqrt3)}{(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}=\frac{45(3+\sqrt3)}{9-3}=7{,}5(3+\sqrt3).$$
2. Запишем число в виде обыкновенной дроби.
1) $$0{,}444\ldots = 0{,}4+0{,}04+0{,}004+\ldots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия, где
$$b_1=0{,}4,\quad q=0{,}1.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}4}{1-0{,}1}=\frac{0{,}4}{0{,}9}=\frac49.$$
2) $$3{,}7(32)=3{,}7+0{,}032+0{,}00032+\ldots$$
Здесь
$$b_1=0{,}032,\quad q=0{,}01.$$
Сумма периодической части:
$$0{,}032+0{,}00032+\ldots=\frac{0{,}032}{1-0{,}01}=\frac{0{,}032}{0{,}99}=\frac{16}{495}.$$
Тогда
$$3{,}7(32)=\frac{37}{10}+\frac{16}{495}=\frac{739}{198}.$$
3) Пусть сумма членов с нечётными номерами равна $$S_{\text{неч}}=45,$$ а с чётными — $$S_{\text{чет}}=9.$$
Для бесконечной геометрической прогрессии
$$S_{\text{чет}}=S_{\text{неч}}\cdot q,$$
значит
$$9=45q,\quad q=\frac15.$$
Сумма всей прогрессии:
$$S=45+9=54.$$
Но также
$$S=\frac{b_1}{1-q},$$
откуда
$$b_1=S(1-q)=54\left(1-\frac15\right)=54\cdot\frac45=43{,}2.$$
Ответ: 1) $$-76{,}8$$; 2) $$7{,}5(3+\sqrt3)$$; 2.1) $$\frac49$$; 2.2) $$\frac{739}{198}$$; 3) $$b_1=43{,}2,\ q=\frac15.$$
