Вариант 3 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 33. Сумма n первых членов геометрической прогрессии
- Геометрическая прогрессия $$(b_n)$$ задана формулой $$b_n=5\cdot 2^{n+1}$$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии.
- Сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии равна $$1248$$. Найдите $$n$$, если первый член прогрессии равен $$8$$, а знаменатель прогрессии равен $$5$$.
- Для любого натурального $$n$$ сумму $$n$$ первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $$S_n=3(4^n-1)$$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.
1) Найдём первые члены прогрессии:
$$b_1=5\cdot 2^{1+1}=5\cdot 2^2=20,$$
$$b_2=5\cdot 2^{2+1}=5\cdot 2^3=40.$$
Тогда знаменатель прогрессии
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{40}{20}=2.$$
Сумма первых семи членов:
$$S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}=\frac{20(2^7-1)}{2-1}=20\cdot 127=2540.$$
2) Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Подставим данные:
$$1248=\frac{8(5^n-1)}{5-1}.$$
$$1248=2(5^n-1),$$
$$5^n-1=624,$$
$$5^n=625=5^4,$$
значит, $$n=4.$$
3) Найдём первые члены последовательности по формуле суммы:
$$S_n=3(4^n-1).$$
Тогда
$$S_1=3(4-1)=9,$$
$$S_2=3(16-1)=45.$$
Следовательно,
$$b_1=S_1=9,$$
$$b_2=S_2-S_1=45-9=36.$$
Найдём знаменатель:
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{36}{9}=4.$$
Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{9(4^n-1)}{4-1}=3(4^n-1).$$
Это совпадает с данной формулой, значит, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: 1) $$2540$$; 2) $$4$$; 3) последовательность является геометрической прогрессией, $$q=4$$.
