Вариант 3 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Между числами $$81$$ и $$256$$ вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
- Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$\left(b_n\right)$$, если $$b_6=4b_4$$ и $$b_2+b_5=108$$.
- Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна $$15$$. Если к этим числам прибавить соответственно $$1$$, $$1$$ и $$4$$, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.
1) Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$81,\; b_2,\; b_3,\; b_4,\; 256.$$
Тогда $$b_5=b_1q^4,$$ значит
$$81q^4=256,$$
откуда
$$q^4=\frac{256}{81}, \qquad q=\pm \frac{4}{3}.$$
Находим вставленные числа:
$$b_2=81q=\pm 108,$$
$$b_3=81q^2=144,$$
$$b_4=81q^3=\pm 192.$$
Получаем две прогрессии:
$$81,\; 108,\; 144,\; 192,\; 256$$
и
$$81,\; -108,\; 144,\; -192,\; 256.$$
2) Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$ имеем:
$$b_6=4b_4 \Rightarrow b_1q^5=4b_1q^3.$$
Так как $$b_1\neq 0,$$ то
$$q^2=4,\qquad q=\pm 2.$$
Из условия $$b_2+b_5=108$$ получаем:
$$b_1q+b_1q^4=108.$$
Если $$q=2,$$ то
$$2b_1+16b_1=108,$$
$$18b_1=108,\qquad b_1=6.$$
Если $$q=-2,$$ то
$$-2b_1+16b_1=108,$$
$$14b_1=108,\qquad b_1=\frac{54}{7}=7\frac{5}{7}.$$
Значит, возможны два ответа:
$$b_1=6,\; q=2$$
или
$$b_1=7\frac{5}{7},\; q=-2.$$
3) Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$5-d,\; 5,\; 5+d,$$ так как их сумма равна $$15$$:
$$a_1+a_2+a_3=15,\qquad 3a_2=15,\qquad a_2=5.$$
После прибавления получаем числа
$$6-d,\; 6,\; 9+d.$$
Они образуют геометрическую прогрессию, значит
$$6^2=(6-d)(9+d).$$
Тогда
$$36=54+3d-d^2,$$
$$d^2-3d-18=0.$$
Решаем уравнение:
$$D=9+72=81,$$
$$d=\frac{3\pm 9}{2}.$$
Отсюда
$$d=6 \quad \text{или} \quad d=-3.$$
При $$d=6$$ получаем числа
$$-1,\; 5,\; 11.$$
При $$d=-3$$ получаем числа
$$8,\; 5,\; 2.$$
Ответ: 1) $$81,\; 108,\; 144,\; 192,\; 256$$ или $$81,\; -108,\; 144,\; -192,\; 256$$; 2) $$b_1=6,\; q=2$$ или $$b_1=7\frac{5}{7},\; q=-2$$; 3) $$-1,\; 5,\; 11$$ или $$2,\; 5,\; 8$$.
