Вариант 3 Самостоятельная работа 31 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Арифметическая прогрессия $$(a_n)$$ задана формулой n-го члена: $$a_n=3n-1$$. Найдите сумму сорока семи первых членов прогрессии.
2. Для любого натурального значения $$n$$ сумму $$n$$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $$S_n=5n^2-3n$$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
3. Пятнадцатый член арифметической прогрессии равен $$21$$. Найдите сумму двадцати девяти первых членов прогрессии.

1) $$a_n=3n-1,\quad n=47$$

Найдём первый и сорок седьмой члены:

$$a_1=3\cdot 1-1=2$$

$$a_{47}=3\cdot 47-1=140$$

Тогда сумма первых 47 членов:

$$S_{47}=\frac{a_1+a_{47}}{2}\cdot 47=\frac{2+140}{2}\cdot 47=71\cdot 47=3337$$

Ответ: $$3337$$

2) $$S_n=5n^2-3n$$

Найдём первые суммы:

$$S_1=5\cdot 1^2-3\cdot 1=2$$

$$S_2=5\cdot 2^2-3\cdot 2=20-6=14$$

Тогда

$$a_1=S_1=2$$

$$a_2=S_2-S_1=14-2=12$$

Разность прогрессии:

$$d=a_2-a_1=12-2=10$$

Ответ: $$a_1=2,\ d=10$$

3) $$a_{15}=21$$

Для арифметической прогрессии

$$a_{15}=a_1+14d=21$$

Сумма первых 29 членов:

$$S_{29}=\frac{a_1+a_{29}}{2}\cdot 29$$

Так как

$$a_{29}=a_1+28d$$

то

$$S_{29}=\frac{a_1+a_1+28d}{2}\cdot 29=(a_1+14d)\cdot 29$$

Но $$a_1+14d=21$$, значит

$$S_{29}=21\cdot 29=609$$

Ответ: $$609$$