Вариант 3 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии $$2; \ 1{,}8; \ 1{,}6; \ \ldots$$.
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_3+a_5=2$$ и $$a_7+a_{10}=4$$.
3. При каком значении $$y$$ значения выражений $$y^2+2$$, $$4y+2$$, $$3y+6$$ и $$y^2-4y+18$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

1) Для арифметической прогрессии $$2;\ 1{,}8;\ 1{,}6;\ldots$$ имеем

$$a_1=2,\quad d=1{,}8-2=-0{,}2.$$

Общий член:

$$a_n=a_1+d(n-1)=2-0{,}2(n-1).$$

Найдём первый отрицательный член:

$$2-0{,}2(n-1)<0$$

$$2-0{,}2n+0{,}2<0$$

$$2{,}2<0{,}2n$$

$$n>11.$$

Значит, первый отрицательный член — это $$a_{12}$$.

2) Из условий:

$$a_3+a_5=2,\qquad a_7+a_{10}=4.$$

Так как $$a_n=a_1+d(n-1),$$ то

$$a_3=a_1+2d,\quad a_5=a_1+4d,$$

$$a_7=a_1+6d,\quad a_{10}=a_1+9d.$$

Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} 2a_1+6d=2,\\ 2a_1+15d=4. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$9d=2,\qquad d=\frac{2}{9}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+6\cdot\frac{2}{9}=2$$

$$2a_1+\frac{4}{3}=2$$

$$2a_1=\frac{2}{3},\qquad a_1=\frac{1}{3}.$$

3) Пусть числа

$$y^2+2,\quad 4y+2,\quad 3y+6,\quad y^2-4y+18$$

являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$4y+2=\frac{(y^2+2)+(3y+6)}{2},$$

$$3y+6=\frac{(4y+2)+(y^2-4y+18)}{2}.$$

Из первого равенства:

$$8y+4=y^2+3y+8$$

$$y^2-5y+4=0$$

$$\left(y-1\right)\left(y-4\right)=0,$$

откуда $$y=1$$ или $$y=4.$$

Из второго равенства:

$$6y+12=y^2+20$$

$$y^2-6y+8=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0,$$

откуда $$y=2$$ или $$y=4.$$

Общее значение: $$y=4.$$

Тогда члены прогрессии:

$$y^2+2=18,\quad 4y+2=18,\quad 3y+6=18,\quad y^2-4y+18=18.$$

Ответ

1) $$a_{12}$$.

2) $$a_1=\frac{1}{3},\ d=\frac{2}{9}.$$

3) $$y=4,$$ члены прогрессии: $$18,\ 18,\ 18,\ 18.$$