Вариант 3 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 3. Чётные и нечётные функции
- Функция $$f$$ нечётная. Может ли выполняться равенство $$f(2)\cdot f(-2)=1$$?
- Исследуйте на чётность функцию:
1) $$y=\frac{x^4-x^3}{x-1}$$;
2) $$y=x^6-2x$$;
3) $$y=v(4-x)-v(4+x)$$. - Известно, что $$\min_{[-5;-1]} f(x)=-3$$, $$\max_{[-5;-1]} f(x)=2$$. Найдите $$\min_{[1;5]} f(x)$$ и $$\max_{[1;5]} f(x)$$, если:
1) $$f$$ — чётная функция;
2) $$f$$ — нечётная функция. - При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^4+ax^2+a^2+4a-5=0$$ имеет единственный корень?
Так как функция нечётная, то $$f(-2)=-f(2).$$ Тогда
$$f(2)\cdot f(-2)=f(2)\cdot(-f(2))=-(f(2))^2.$$
Это выражение не может быть равно $$1,$$ так как квадрат числа неотрицателен. Значит, равенство невозможно.
1) $$y=\frac{x^4-x^3}{x-1}, \quad x\ne 1.$$
Преобразуем:
$$y=\frac{x^3(x-1)}{x-1}=x^3,\quad x\ne 1.$$
Область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
2) $$y=x^6-2x.$$
Найдём значение при $$-x$$:
$$y(-x)=(-x)^6-2(-x)=x^6+2x.$$
Так как $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x),$$ функция общего вида.
3) $$y=\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}.$$
Область определения: $$4-x\ge 0,\; 4+x\ge 0,$$ то есть $$-4\le x\le 4.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}=-(\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x})=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
Если функция чётная, то значения на отрезках $$[-5;-1]$$ и $$[1;5]$$ совпадают. Поэтому
$$\min_{[1;5]} f(x)=-3,\qquad \max_{[1;5]} f(x)=2.$$
Если функция нечётная, то значения на симметричном отрезке меняют знак. Тогда
$$\min_{[1;5]} f(x)=-2,\qquad \max_{[1;5]} f(x)=3.$$
Рассмотрим уравнение
$$x^4+ax^2+a^2+4a-5=0.$$
Оно чётное, поэтому если $$x_0$$ — корень, то и $$-x_0$$ — корень. Чтобы корень был единственным, он должен быть равен $$0.$$
Подставим $$x=0$$:
$$a^2+4a-5=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$
$$a=\frac{-4\pm 6}{2}.$$
Получаем:
$$a_1=-5,\qquad a_2=1.$$
Проверим:
при $$a=-5$$
$$x^4-5x^2=0,$$
$$x^2(x^2-5)=0,$$
корни: $$x=0,\; x=\pm\sqrt5,$$ то есть не один корень;
при $$a=1$$
$$x^4+x^2=0,$$
$$x^2(x^2+1)=0,$$
единственный действительный корень: $$x=0.$$
Ответ
1) Нет.
2) 1) функция общего вида; 2) функция общего вида; 3) нечётная.
3) Если $$f$$ чётная, то $$\min_{[1;5]} f(x)=-3,$$ $$\max_{[1;5]} f(x)=2.$$ Если $$f$$ нечётная, то $$\min_{[1;5]} f(x)=-2,$$ $$\max_{[1;5]} f(x)=3.$$
4) $$a=1.$$
