Вариант 3 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите три первых члена последовательности $$(a_n)$$, если $$a_1=5,\quad a_{n+1}=-3a_n+2$$.
- Последовательность $$(b_n)$$ задана формулой $$b_n=7n+1$$. Является ли членом этой последовательности число: 1) $$36$$; 2) $$41$$? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
- Последовательность $$(a_n)$$ задана формулой $$a_n=n^2-6n+2$$. Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа $$18$$.
- Найдите все такие значения $$a$$, при которых последовательность, заданная условиями $$x_1=a,\quad x_{n+1}=x_n^2-5x_n+5$$, является стационарной.
Вычислим первые три члена последовательности:
$$a_1=5$$
$$a_2=-3a_1+2=-3\cdot 5+2=-15+2=-13$$
$$a_3=-3a_2+2=-3\cdot(-13)+2=39+2=41$$
Ответ: $$5;\,-13;\,41.$$
Проверим, является ли число членом последовательности $$b_n=7n+1$$.
1) Для числа $$36$$:
$$7n+1=36$$
$$7n=35$$
$$n=5$$
Значит, $$36$$ является членом последовательности, это $$5$$-й член.
2) Для числа $$41$$:
$$7n+1=41$$
$$7n=40$$
$$n=\frac{40}{7}$$
Так как $$n$$ не является натуральным числом, число $$41$$ не является членом последовательности.
Ответ: 1) $$5$$; 2) нет.
Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство:
$$a_n=n^2-6n+2<18$$
$$n^2-6n-16<0$$
Решим квадратное уравнение $$n^2-6n-16=0$$:
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100$$
$$n_{1,2}=\frac{6\pm 10}{2}$$
$$n_1=-2,\quad n_2=8$$
Тогда
$$-2<n<8$$
Так как $$n$$ — номер члена последовательности, то $$n=1,2,3,4,5,6,7$$. Всего таких членов $$7$$.
Ответ: $$7.$$
Последовательность будет стационарной, если $$x_{n+1}=x_n=a$$.
Тогда
$$a=a^2-5a+5$$
$$a^2-6a+5=0$$
Решим уравнение:
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$$
$$a_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$
$$a_1=1,\quad a_2=5$$
Ответ: $$1;\,5.$$
