Вариант 3 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ все корни уравнения $$x^2+(5a+2)x+10a=0$$ принадлежат промежутку $$(-3; 1)$$?
2. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых один из корней квадратного уравнения $$ax^2+x+4=0$$ больше $$3$$, а другой меньше $$3$$.
3. При каких значениях параметра $$a$$ корни уравнения $$x^2+(2a-14)x+a^2-a-12=0$$ являются положительными числами?

1) Рассмотрим уравнение $$x^2+(5a+2)x+10a=0.$$

Чтобы все корни принадлежали промежутку $$(-3;1),$$ найдём корни через дискриминант:

$$D=(5a+2)^2-4\cdot 10a=25a^2-20a+4=(5a-2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-(5a+2)\pm(5a-2)}{2},$$

откуда

$$x_1=-5a,\qquad x_2=-2.$$

Число $$-2$$ всегда принадлежит промежутку $$(-3;1).$$ Остаётся потребовать, чтобы

$$-3<-5a<1.$$

Решаем неравенство:

$$-0{,}2<a<0{,}6.$$

2) Рассмотрим уравнение $$ax^2+x+4=0.$$

Один корень должен быть больше $$3,$$ а другой меньше $$3,$$ значит, число $$3$$ лежит между корнями. Тогда

$$f(3)<0 \quad \text{при } a>0,$$

где $$f(x)=ax^2+x+4.$$

Вычислим:

$$f(3)=9a+3+4=9a+7.$$

Получаем

$$9a+7<0,$$

$$a<-\frac79.$$

Но при $$a<0$$ парабола направлена вниз, и условие расположения корней относительно точки $$3$$ выполняется при

$$-\frac79<a<0.$$

3) Рассмотрим уравнение $$x^2+(2a-14)x+a^2-a-12=0.$$

Чтобы оба корня были положительными, нужно:

1. $$D\ge 0,$$
2. $$x_1+x_2>0,$$
3. $$x_1x_2>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a-14)^2-4(a^2-a-12)\ge 0,$$

$$4a^2-56a+196-4a^2+4a+48\ge 0,$$

$$244-52a\ge 0,$$

$$a\le \frac{61}{13}.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=14-2a>0 \quad \Rightarrow \quad a<7,$$

$$x_1x_2=a^2-a-12>0 \quad \Rightarrow \quad (a-4)(a+3)>0.$$

Отсюда

$$a<-3 \quad \text{или} \quad a>4.$$

Пересекаем все условия:

$$a<-3 \quad \text{или} \quad 4<a\le \frac{61}{13}.$$

Ответ

1) $$(-0{,}2;0{,}6)$$

2) $$\left(-\frac79;0\right)$$

3) $$(-\infty;-3)\cup\left(4;\frac{61}{13}\right]$$