Вариант 3 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{10}{n+7}\cdot C(n+7,n+5)$$.
2. Решите в натуральных числах уравнение $$A(x+3,2)+C(x+6,x+4)=48$$.
3. У Саши есть 12 различных фломастеров и 9 различных карандашей. Сколькими способами он может сформировать набор, состоящий из 4 фломастеров и 2 карандашей?
4. В цехе работает 19 человек. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 8 человек, если Иван Николаевич и Николай Иванович не могут входить в бригаду одновременно?

$$\frac{10}{n+7}\cdot C_{n+7}^{\,n+5}=\frac{10}{n+7}\cdot \frac{(n+7)!}{(n+5)!\,2!}$$

$$=\frac{10}{n+7}\cdot \frac{(n+7)(n+6)}{2}=5(n+6).$$

Ответ: $$5(n+6).$$

Ход решения

$$A_{x+3}^{\,2}+C_{x+6}^{\,x+4}=48$$

$$\frac{(x+3)!}{(x+1)!}+\frac{(x+6)!}{(x+4)!\,2!}=48$$

$$(x+3)(x+2)+\frac{(x+6)(x+5)}{2}=48.$$

Умножим на $$2$$:

$$2(x+3)(x+2)+(x+6)(x+5)=96$$

$$2x^2+10x+12+x^2+11x+30=96$$

$$3x^2+21x-54=0$$

$$x^2+7x-18=0$$

$$D=7^2+4\cdot 18=49+72=121$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{2}$$

$$x_1=-9,\quad x_2=2.$$

Так как $$x$$ — натуральное число, подходит только $$x=2$$.

Ответ: $$2.$$

Ход решения

Число способов выбрать $$4$$ фломастера из $$12$$ и $$2$$ карандаша из $$9$$ равно

$$N=C_{12}^{4}\cdot C_{9}^{2}.$$

$$N=\frac{12!}{8!\,4!}\cdot \frac{9!}{7!\,2!}$$

$$N=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{9\cdot 8}{2}$$

$$N=495\cdot 36=17820.$$

Ответ: $$17820.$$

Ход решения

Всего нужно выбрать бригаду из $$8$$ человек из $$19$$. Сначала найдём число всех способов:

$$C_{19}^{8}.$$

Из них вычтем случаи, когда Иван Николаевич и Николай Иванович входят в бригаду одновременно. Тогда вместе с ними нужно выбрать ещё $$6$$ человек из оставшихся $$17$$:

$$C_{17}^{6}.$$

Следовательно,

$$N=C_{19}^{8}-C_{17}^{6}.$$

$$C_{19}^{8}=\frac{19!}{11!\,8!}=75582,\qquad C_{17}^{6}=\frac{17!}{11!\,6!}=12376.$$

$$N=75582-12376=63206.$$

Ответ: $$63206.$$