Вариант 3 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. В легкоатлетическом кроссе участвует 10 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье и четвёртое места?
2. Решите в натуральных числах уравнение:
   1) $$A(x+4, 2)=132$$;
   2) $$\frac{P(x+5)}{A(x+2; 2)\cdot P(x)}=720$$.
3. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и третья цифры были нечётными?

1) Число способов распределить 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места среди 10 спортсменов равно числу размещений:

$$A_{10}^{4}=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.$$

2) Решим уравнения.

1. $$A_{x+4}^{2}=132,$$

   $$\frac{(x+4)!}{(x+2)!}=132,$$

   $$(x+4)(x+3)=132,$$

   $$x^2+7x+12=132,$$

   $$x^2+7x-120=0.$$

   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-120)=49+480=529,$$

   $$x_{1}=\frac{-7-23}{2}=-15,\qquad x_{2}=\frac{-7+23}{2}=8.$$

   Так как число натуральное, получаем $$x=8.$$

2. $$\frac{P_{x+5}}{A_{x+2}^{2}\cdot P_x}=720,$$

   $$\frac{(x+5)!\,}{(x+2)!\cdot x!}=720,$$

   $$\frac{(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)!}{(x+2)!\cdot x!}=720,$$

   $$\frac{(x+5)(x+4)(x+3)}{x!}=720.$$

   Упростим по определению размещений и перестановок:

   $$\frac{(x+5)!}{(x+2)!\cdot x!}=720 \;\Rightarrow\; (x+5)(x+4)(x+3)=720.$$

   Проверим натуральные значения: при $$x=5$$ получаем

   $$(5+5)(5+4)(5+3)=10\cdot 9\cdot 8=720.$$

   Значит, $$x=5.$$

3) Составим шестизначные числа из цифр $$1,2,3,4,5,6,7,8$$ без повторений, причём вторая и третья цифры должны быть нечётными.

Нечётные цифры: $$1,3,5,7$$ — их 4.

Выбираем:

• 2-ю цифру — $$4$$ способа;
• 3-ю цифру — $$3$$ способа;
• 1-ю, 4-ю, 5-ю и 6-ю цифры — из оставшихся $$6$$ цифр, то есть $$A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$$ способов.

Тогда

$$N=4\cdot 3\cdot A_6^4=4\cdot 3\cdot 360=4320.$$

Ответ

1) $$5040$$; 2) $$8$$, $$5$$; 3) $$4320$$.