Вариант 3 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 22. Метод математической индукции
- Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $$n$$ выполняется равенство $$1+7+13+\dots+6n-5=n(3n-2)$$.
- Докажите неравенство $$6^n>5n+4$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq2$$.
- Докажите, что для любого натурального $$n$$ значение выражения $$29^n+68\cdot6^n$$ кратно $$23$$.
Докажем по индукции равенство $$1+7+13+\dots+(6n-5)=n(3n-2).$$
База индукции: при $$n=1$$ имеем
$$1=1\cdot(3\cdot1-2).$$
Равенство верно.
Индукционный переход: пусть для некоторого $$n=k$$ верно
$$1+7+13+\dots+(6k-5)=k(3k-2).$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$1+7+13+\dots+(6k-5)+\bigl(6(k+1)-5\bigr)$$
$$=k(3k-2)+6k+1$$
$$=3k^2-2k+6k+1$$
$$=3k^2+4k+1$$
$$=(k+1)(3k+1)$$
$$=(k+1)\bigl(3(k+1)-2\bigr).$$Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.
Докажем неравенство $$6^n>5n+4$$ при $$n\ge 2.$$
База индукции: при $$n=2$$
$$6^2=36>14=5\cdot2+4.$$
Неравенство верно.
Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно
$$6^k>5k+4.$$
Тогда для $$n=k+1$$ получаем
$$6^{k+1}=6\cdot6^k>6(5k+4)=30k+24.$$
Осталось показать, что
$$30k+24\ge 5(k+1)+4=5k+9.$$
Действительно,
$$30k+24-(5k+9)=25k+15>0.$$
Значит, $$6^{k+1}>5(k+1)+4.$$
Следовательно, неравенство верно при всех $$n\ge 2.$$
Докажем, что число $$29^n+68\cdot6^n$$ кратно $$23$$ при любом натуральном $$n.$$
База индукции: при $$n=1$$
$$29+68\cdot6=437=23\cdot19,$$
значит, выражение делится на $$23.$$
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ число $$29^k+68\cdot6^k$$ кратно $$23,$$ то есть
$$29^k+68\cdot6^k=23m$$
для некоторого целого $$m.$$ Тогда
$$29^{k+1}+68\cdot6^{k+1} =29\cdot29^k+68\cdot6\cdot6^k$$
$$=29\bigl(29^k+68\cdot6^k\bigr)+23\cdot68\cdot6^k.$$Обе части справа кратны $$23,$$ значит, и всё выражение кратно $$23.$$
Следовательно, $$29^n+68\cdot6^n$$ делится на $$23$$ при любом натуральном $$n.$$
Ответ
1) $$1+7+13+\dots+(6n-5)=n(3n-2).$$
2) $$6^n>5n+4$$ при $$n\ge 2.$$
3) $$29^n+68\cdot6^n$$ кратно $$23$$ при любом натуральном $$n.$$
