Вариант 3 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- На рисунке 5 изображён график функции $$y=f(x)$$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$; $$\max_{\mathbb{R}} f(x)$$;
5) $$\min_{[-1;0]} f(x)$$; $$\max_{[-1;0]} f(x)$$. - Докажите, что функция $$f(x)=\frac{7}{x-5}$$ убывает на промежутке $$(5;+\infty)$$.
- Найдите $$\min_{D(f)} f(x)$$ и $$\max_{D(f)} f(x)$$, если $$f(x)=7-\sqrt{9-x^2}$$.
- Возрастающая функция $$f$$ определена на множестве $$\mathbb{R}$$. Возрастающей или убывающей является функция $$f(g(x))$$, если $$g(x)=2-5x$$?
- Решите уравнение $$x^3+3\sqrt{5x+4}=10$$.
По графику получаем:
- нули функции: $$x=-1$$ и $$x=3$$;
- $$f(x)>0$$ при $$-1<x<3$$;
- функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$;
- $$\min\limits_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max\limits_{\mathbb{R}} f(x)=4$$;
- на отрезке $$[-1;0]$$: $$\min\limits_{[-1;0]} f(x)=0$$, $$\max\limits_{[-1;0]} f(x)=3$$.
Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{7}{x-5}$$ на промежутке $$\left(5;+\infty\right)$$.
Если $$x_2>x_1>5$$, то
$$x_2-5>x_1-5>0,$$
$$\frac{1}{x_2-5}<\frac{1}{x_1-5},$$
$$\frac{7}{x_2-5}<\frac{7}{x_1-5}.$$Значит, функция убывает на $$\left(5;+\infty\right)$$.
$$f(x)=7-\sqrt{9-x^2}$$.
Найдём область определения:
$$9-x^2\ge 0,\quad -3\le x\le 3.$$
Так как $$0\le \sqrt{9-x^2}\le 3$$, то
$$4\le 7-\sqrt{9-x^2}\le 7.$$
Следовательно,
$$\min\limits_{D(f)} f(x)=4,\qquad \max\limits_{D(f)} f(x)=7.$$
Функция $$f$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)=2-5x$$ убывает, так как при $$x_2>x_1$$ имеем
$$g(x_2)=2-5x_2<2-5x_1=g(x_1).$$
При возрастании внешней функции и убывании внутренней композиция $$f(g(x))$$ убывает.
Решим уравнение
$$x^3+3\sqrt{5x+4}=10.$$
Перенесём:
$$x^3-10=-3\sqrt{5x+4}.$$
Проверим значение $$x=1$$:
$$1^3+3\sqrt{5\cdot 1+4}=1+3\cdot 3=10.$$
Значит, $$x=1$$ — корень. Других корней нет, так как левая часть как сумма возрастающей функции $$x^3$$ и неотрицательной функции $$3\sqrt{5x+4}$$ даёт единственное решение.
Ответ
1) $$x=-1$$ и $$x=3$$; $$f(x)>0$$ при $$-1<x<3$$; возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; $$\min\limits_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует, $$\max\limits_{\mathbb{R}} f(x)=4$$; $$\min\limits_{[-1;0]} f(x)=0$$, $$\max\limits_{[-1;0]} f(x)=3$$.
2) Убывает на $$\left(5;+\infty\right)$$.
3) $$\min\limits_{D(f)} f(x)=4$$, $$\max\limits_{D(f)} f(x)=7$$.
4) Убывает.
5) $$x=1$$.
