Вариант 3 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- От двух станций, расстояние между которыми равно $$450\ \text{км}$$, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через $$5\ \text{ч}$$. Найдите скорость каждого поезда, если один из них истратил на путь между станциями на $$2\ \text{ч}\ 15\ \text{мин}$$ больше, чем другой.
- Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за $$4\ \text{ч}\ 48\ \text{мин}$$. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно $$\frac{1}{4}$$ котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за $$9\ \text{ч}$$. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?
- В двух сплавах массы золота и меди относятся как $$7:1$$ и $$5:3$$ соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить $$32\ \text{кг}$$ нового сплава, в котором массы золота и меди относятся как $$11:5$$?
1) Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого поезда, $$y$$ км/ч — скорость второго.
Тогда за $$5$$ ч они вместе прошли $$450$$ км:
$$5(x+y)=450,$$
откуда
$$x+y=90.$$
По условию один поезд затратил на весь путь на $$2\text{ ч }15\text{ мин}=\frac{9}{4}$$ ч больше, чем другой:
$$\frac{450}{x}-\frac{450}{y}=\frac{9}{4}.$$
Подставим $$y=90-x$$:
$$\frac{450}{x}-\frac{450}{90-x}=\frac{9}{4}.$$
Умножим на $$4x(90-x)$$:
$$1800(90-x)-1800x=9x(90-x),$$
$$162000-3600x=810x-9x^2,$$
$$9x^2-4410x+162000=0,$$
$$x^2-490x+18000=0.$$
$$D=490^2-4\cdot18000=168100,$$
$$\sqrt{D}=410.$$
Тогда
$$x=\frac{490-410}{2}=40,\qquad x=\frac{490+410}{2}=450.$$
Значение $$450$$ не подходит, так как тогда $$y=90-450<0$$. Значит, $$x=40$$, $$y=50$$.
2) Пусть $$x$$ ч — время, за которое первый экскаватор выроет котлован самостоятельно, $$y$$ ч — время второго.
Тогда при совместной работе их производительность равна:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4\text{ ч }48\text{ мин}}=\frac{1}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{24}.$$
Если первый выроет $$\frac14$$ котлована, а второй — оставшуюся часть $$\frac34$$, то получим:
$$\frac{x}{4}+\frac{3y}{4}=9,$$
$$x+3y=36,$$
$$x=36-3y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{36-3y}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}.$$
Умножим на $$24y(36-3y)$$:
$$24y+24(36-3y)=5y(36-3y),$$
$$24y+864-72y=180y-15y^2,$$
$$15y^2-228y+864=0,$$
$$5y^2-76y+288=0.$$
$$D=76^2-4\cdot5\cdot288=16,$$
$$y=\frac{76-4}{10}=7{,}2,\qquad y=\frac{76+4}{10}=8.$$
Тогда
$$x=36-3\cdot7{,}2=14{,}4,$$
или
$$x=36-3\cdot8=12.$$
Значит, первый экскаватор может вырыть котлован за $$14\text{ ч }24\text{ мин}$$ или $$12$$ ч, а второй — за $$7\text{ ч }12\text{ мин}$$ или $$8$$ ч.
3) Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго.
Тогда
$$x+y=32.$$
В первом сплаве золота $$\frac78$$, меди $$\frac18$$; во втором — золота $$\frac58$$, меди $$\frac38$$. В новом сплаве золота и меди относятся как $$11:5$$, значит, золота в нём
$$32\cdot\frac{11}{16}=22$$ кг.
Составим уравнение по массе золота:
$$\frac78x+\frac58y=22.$$
Подставим $$y=32-x$$:
$$\frac78x+\frac58(32-x)=22,$$
$$\frac78x+20-\frac58x=22,$$
$$\frac28x=2,$$
$$x=8.$$
Тогда
$$y=32-8=24.$$
Ответ: 1) $$40$$ км/ч и $$50$$ км/ч; 2) $$14$$ ч $$24$$ мин и $$7$$ ч $$12$$ мин, либо $$12$$ ч и $$8$$ ч; 3) $$8$$ кг и $$24$$ кг.
