Вариант 3 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ докажите неравенство $$\frac{a}{20b}+\frac{125b}{a}\geq 5$$.
2. При $$y>7$$ докажите неравенство $$y+\frac{1}{y-7}\geq 9$$.
3. Известно, что $$a^2+b^2=5$$, $$c^2+d^2=20$$. Докажите, что $$|ac+bd|\leq 10$$.
4. Известно, что $$x+y=2$$. Докажите, что $$\sqrt{x^2+16y^2}+\sqrt{y^2+16x^2}\geq 5\sqrt{2}$$.

1. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:

$$\frac{a}{20b}+\frac{125b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{20b}\cdot\frac{125b}{a}}.$$

Тогда

$$\frac{a}{20b}+\frac{125b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{125}{20}}=2\sqrt{\frac{25}{4}}=2\cdot\frac{5}{2}=5.$$

Что и требовалось доказать.

2. При $$y>7$$ числа $$y-7$$ и $$\frac{1}{y-7}$$ положительны. Тогда

$$y-7+\frac{1}{y-7}\ge 2\sqrt{(y-7)\cdot\frac{1}{y-7}}=2.$$

Следовательно,

$$y+\frac{1}{y-7}\ge 9.$$

Неравенство доказано.

3. По неравенству Коши-Буняковского:

$$|ac+bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.$$

С учётом условий $$a^2+b^2=5$$ и $$c^2+d^2=20$$ получаем:

$$|ac+bd|\le \sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}=10.$$

Что и требовалось доказать.

4. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\sqrt{x^2+16y^2}+\sqrt{y^2+16x^2}\ge \frac{x+4y}{\sqrt{2}}+\frac{y+4x}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2+16y^2}+\sqrt{y^2+16x^2}\ge \frac{5(x+y)}{\sqrt{2}}.$$

Так как $$x+y=2$$, то

$$\frac{5(x+y)}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2+16y^2}+\sqrt{y^2+16x^2}\ge 5\sqrt{2}.$$

Что и требовалось доказать.