Вариант 2 Контрольная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите область определения функции $$f(x)=\sqrt{3-7x}+\frac{1}{x^2-2x-15}.$$
- Найдите область значений функции $$y=\frac{4x-12}{x^2}.$$
- Исследуйте на чётность функцию:
1) $$y=3x^2-x^4;$$
2) $$y=\frac{x^7-3x^6}{3-x};$$
3) $$y=\frac{|x+2|}{(4x-1)^2}-\frac{|x-2|}{(4x+1)^2}.$$ - Постройте график функции $$f(x)=-x^2-2x+8.$$ Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) множество решений неравенства $$f(x)<0.$$ - Постройте график функции:
1) $$y=|3-\sqrt{x}|;$$
2) $$y=\sqrt{3-x};$$
3) $$y=\sqrt{3-2x}.$$ - Решите уравнение $$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+5}=\frac{16}{x}.$$
- Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^2-2x)^2+6(x^2-2x)+10.$$
1) Для области определения нужно учесть два условия:
$$3-7x \ge 0,$$
$$x^2-2x-15 \ne 0.$$
Решим их:
$$3-7x \ge 0 \Rightarrow x \le \frac{3}{7};$$
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)\ne 0 \Rightarrow x\ne 5,\; x\ne -3.$$
Так как $$5>\frac{3}{7},$$ то это значение не входит в найденный промежуток, а число $$-3$$ нужно исключить.
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup\left(-3;\frac{3}{7}\right].$$
2) Найдём область значений функции $$y=\frac{4x-12}{x^2}.$$
Преобразуем:
$$yx^2=4x-12,$$
$$yx^2-4x+12=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=16-48y\ge 0,$$
$$48y\le 16,$$
$$y\le \frac13.$$
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;\frac13].$$
3) Исследуем на чётность.
$$y=3x^2-x^4.$$
$$y(-x)=3(-x)^2-(-x)^4=3x^2-x^4=y(x).$$
Функция чётная.
$$y=\frac{x^7-3x^6}{3-x}.$$
Область определения: $$x\ne 3.$$ Она не симметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y=\frac{|x+2|}{(4x-1)^2}-\frac{|x-2|}{(4x+1)^2}.$$
Найдём $$y(-x)$$:
$$y(-x)=\frac{|-x+2|}{(-4x-1)^2}-\frac{|-x-2|}{(-4x+1)^2}=\frac{|x-2|}{(4x+1)^2}-\frac{|x+2|}{(4x-1)^2}=-y(x).$$
Функция нечётная.
4) Рассмотрим функцию $$f(x)=-x^2-2x+8.$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot(-1)}=-1,$$
$$y_0=f(-1)=-(-1)^2-2(-1)+8=9.$$
Ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение равно $$9$$.
Тогда:
1) $$E(f)=(-\infty;9];$$
2) функция возрастает на $$(-\infty;-1];$$
3) $$f(x)<0$$ при $$x<-4$$ и $$x>2.$$
5) Построим графики.
$$y=|3-\sqrt{x}|.$$
Сначала строим график $$y=3-\sqrt{x}$$, затем часть ниже оси $$Ox$$ отражаем вверх относительно оси $$Ox$$. Получаем ломаную кривую с вершиной в точке $$\left(9;0\right).$$
$$y=\sqrt{3-x}.$$
Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, отражённый относительно оси $$Oy$$ и сдвинутый так, что область определения задаётся условием $$x\le 3.$$
$$y=\sqrt{3-2x}.$$
График получается из $$y=\sqrt{x}$$ заменой $$x\mapsto 3-2x$$; область определения: $$x\le \frac32.$$
6) Решим уравнение
$$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+5}=\frac{16}{x}.$$
Область определения: $$x\ge 3,$$ значит правая часть положительна. Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{x-3}, \qquad g(x)=\frac{16}{x}-\sqrt{x+5}.$$
При $$x\ge 3$$ первая функция возрастает, а вторая убывает, поэтому решение может быть только одно. Проверим $$x=4$$:
$$\sqrt{4-3}+\sqrt{4+5}=1+3=4,$$
$$\frac{16}{4}=4.$$
Значит, $$x=4.$$
7) Найдём наименьшее значение функции
$$f(x)=(x^2-2x)^2+6(x^2-2x)+10.$$
Сделаем замену:
$$t=x^2-2x=(x-1)^2-1.$$
Тогда
$$f=t^2+6t+10=(t+3)^2+1.$$
Минимум достигается при $$t=-3.$$ Проверим, возможно ли это:
$$x^2-2x=-3,$$
$$x^2-2x+3=0.$$
Дискриминант:
$$D=4-12=-8<0,$$
значит $$t=-3$$ недостижимо. Так как $$t=(x-1)^2-1\ge -1,$$ то минимум функции при $$t=-1.$$ Тогда
$$f_{\min}=(-1)^2+6(-1)+10=5.$$
Ответ:
1) $$(-\infty;-3)\cup\left(-3;\frac{3}{7}\right]$$; 2) $$(-\infty;\frac13]$$; 3) 1) чётная; 2) ни чётная, ни нечётная; 3) нечётная; 4) $$(-\infty;9]$$, возрастает на $$(-\infty;-1]$$, $$f(x)<0$$ при $$x<-4$$ и $$x>2$$; 6) $$4$$; 7) $$5$$.
