Вариант 2 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения функции $$f(x)=\sqrt{3x-2}+\frac{1}{x^2-x-2}$$.
2. Найдите область значений функции:
   1) $$y=5-\frac{x^7}{x}$$;
   2) $$y=\frac{x-1}{x^2}$$.
3. Даны функции $$f(x)=3x+1$$ и $$g(x)=x^2-3$$. Задайте формулой функцию:
   1) $$g(2x)$$;
   2) $$f(g(x))$$.
4. Постройте график функции $$y=\frac{6-2x}{x^2-3x}$$.
5. Известно, что $$D(f)=[-1;6]$$. Найдите область определения функции $$y=f(x-5)$$.

1. Для функции $$f(x)=\sqrt{3x-2}+\frac{1}{x^2-x-2}$$ нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:

$$3x-2\ge 0,$$

$$x^2-x-2\ne 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

Тогда

$$x\ne 2,\quad x\ne -1,$$

а из неравенства $$3x-2\ge 0$$ получаем

$$x\ge \frac23.$$

С учётом ограничения на знаменатель:

$$D(f)=\left[\frac23;2\right)\cup(2;+\infty).$$

2. Найдём область значений.

1. $$y=5-\frac{x^7}{x}=5-x^6,\quad x\ne 0.$$

   Так как $$x^6\ge 0,$$ то $$y\le 5.$$ При больших по модулю $$x$$ значение $$x^6$$ неограниченно возрастает, значит $$y$$ не ограничена снизу.

   Следовательно, $$E(y)=(-\infty;5].$$

2. $$y=\frac{x-1}{x^2},\quad x\ne 0.$$

   Преобразуем:

   $$yx^2=x-1,$$

   $$yx^2-x+1=0.$$

   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицателен:

   $$D=1-4y\ge 0,$$

   $$y\le \frac14.$$

   Значит,

   $$E(y)=(-\infty;\tfrac14].$$

3. Даны $$f(x)=3x+1$$ и $$g(x)=x^2-3.$$

1. $$g(2x)=(2x)^2-3=4x^2-3.$$

2. $$f(g(x))=3(x^2-3)+1=3x^2-8.$$

4. Упростим функцию:

$$y=\frac{6-2x}{x^2-3x}=\frac{2(3-x)}{x(x-3)}=-\frac{2}{x}.$$

Но исходное выражение определено только при

$$x^2-3x\ne 0,$$

то есть

$$x\ne 0,\quad x\ne 3.$$

Значит, график функции $$y=-\frac{2}{x}$$ нужно построить с выколотой точкой при $$x=3$$, то есть в точке $$\left(3;-\frac23\right).$$

Итак, график совпадает с гиперболой $$y=-\frac{2}{x}$$ при $$x\ne 0,3$$, а область определения:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0,3\}.$$

5. Если $$D(f)=[-1;6],$$ то для функции $$y=f(x-5)$$ аргумент должен удовлетворять условию

$$-1\le x-5\le 6.$$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$$4\le x\le 11.$$

Следовательно,

$$D(y)=[4;11].$$

Ответ

1) $$D(f)=\left[\frac23;2\right)\cup(2;+\infty)$$;

2) $$E(y)=(-\infty;5]$$, $$E(y)=(-\infty;\tfrac14]$$;

3) $$g(2x)=4x^2-3,$$ $$f(g(x))=3x^2-8$$;

4) $$y=-\frac{2}{x},\ x\ne 0,3$$;

5) $$D(y)=[4;11].$$