Вариант 2 Контрольная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Функция $$f(x)=-x^2+6x$$ — парабола, ветви направлены вниз.

Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,$$

$$y_0=f(3)=-3^2+6\cdot 3=9.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$9$$, поэтому область значений:

$$E(f)=(-\infty;9].$$

Так как вершина при $$x=3$$ и ветви направлены вниз, функция убывает на промежутке

$$[3;+\infty).$$

Решим неравенство $$f(x)<5$$:

$$-x^2+6x<5$$

$$-x^2+6x-5<0$$

$$x^2-6x+5>0$$

$$(x-1)(x-5)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty).$$

2. Решим неравенство

$$\frac{x^2+6x+8}{x^2-4x+3}\le 0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x+4)(x+2)}{(x-1)(x-3)}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-4,\,-2,\,1,\,3.$$

С учётом знаков дроби получаем:

$$x\in[-4;-2]\cup(1;3).$$

3. Решим систему

$$\begin{cases} x^2+xy=6,\\ xy+y^2=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$x^2+2xy+y^2=9,$$

$$(x+y)^2=9,$$

$$x+y=\pm 3.$$

Если $$x+y=3,$$ то $$y=3-x$$ и

$$x^2+x(3-x)=6,$$

$$3x=6,$$

$$x=2,\quad y=1.$$

Если $$x+y=-3,$$ то $$y=-3-x$$ и

$$x^2+x(-3-x)=6,$$

$$-3x=6,$$

$$x=-2,\quad y=-1.$$

Ответ системы:

$$(2;1),\;(-2;-1).$$

4. Пусть первая бригада может выполнить работу одна за $$x$$ дней, а вторая — за $$y$$ дней.

Тогда по условию:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{20},$$

а если первая бригада выполнит $$\frac16$$ работы, затем вторая завершит остальное, то

$$\frac{x}{6}+\frac{5y}{6}=35.$$

Умножим на $$6$$:

$$x+5y=210.$$

Из первого уравнения:

$$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{20}.$$

Решая систему, получаем:

$$x=70,\quad y=28.$$

Значит, первая бригада выполнит работу за $$70$$ дней, вторая — за $$28$$ дней.

5. Неравенство

$$|x|(y-2)\ge 0$$

выполняется, если:

• $$x=0$$ — тогда неравенство верно при любом $$y$$;
• или $$x\ne 0$$, тогда $$|x|>0$$ и нужно $$y-2\ge 0,$$ то есть $$y\ge 2.$$

График — это вся плоскость выше прямой $$y=2$$, включая саму прямую, и вся ось $$Oy$$ при $$x=0$$.

6. Всего способов выбрать 2 карточки из 4:

$$C_4^2=6.$$

Произведение не кратно $$3$$ только для пары $$\{4,5\}$$. Таких благоприятных исходов:

$$5$$? Нет, кратным $$3$$ будет произведение во всех остальных случаях, то есть благоприятных исходов $$5$$.

Тогда вероятность:

$$P=\frac{5}{6}.$$

7. Докажем неравенство

$$\left(1+\frac1a\right)\left(4+\frac1b\right)\left(1+16ab\right)\ge 64,$$

если $$a>0$$ и $$b>0.$$

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$$1+\frac1a\ge 2\sqrt{\frac1a}=\frac{2}{\sqrt a},$$

$$4+\frac1b\ge 2\sqrt{\frac4b}=\frac{4}{\sqrt b},$$

$$1+16ab\ge 2\sqrt{16ab}=8\sqrt{ab}.$$

Перемножая, получаем:

$$\left(1+\frac1a\right)\left(4+\frac1b\right)\left(1+16ab\right)\ge \frac{2}{\sqrt a}\cdot \frac{4}{\sqrt b}\cdot 8\sqrt{ab}=64.$$

Что и требовалось доказать.

8. Неравенство

$$(a-6)x^2+(12-2a)x+7>0$$

выполняется при всех действительных $$x$$ тогда и только тогда, когда квадратный трёхчлен положителен при всех $$x$$.

Для этого нужно:

$$a-6>0$$

и

$$D<0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(12-2a)^2-4(a-6)\cdot 7.$$

$$D=144-48a+4a^2-28a+168,$$

$$D=4a^2-76a+312,$$

$$a^2-19a+78<0.$$

$$a^2-19a+78=(a-6)(a-13),$$

поэтому

$$6<a<13.$$

С учётом условия $$a>6$$ получаем окончательно:

$$6<a<13.$$

Ответ

1) $$(-\infty;9]$$; $$[3;+\infty)$$; $$(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$.

2) $$[-4;-2]\cup(1;3).$$

3) $$(2;1),\;(-2;-1).$$

4) $$70$$ дней и $$28$$ дней.

5) $$x=0$$ или $$y\ge 2.$$

6) $$\frac{5}{6}.$$

7) Неравенство доказано.

8) $$6<a<13.$$