Вариант 2 Контрольная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите первый положительный член арифметической прогрессии $$-8{,}1;\ -7{,}9;\ -7{,}7;\ \ldots$$.
- Первый и шестой члены геометрической прогрессии соответственно равны $$2$$ и $$-64$$. Найдите сумму десяти первых членов этой прогрессии.
- При каком значении $$x$$ значения выражений $$x+1$$, $$x+5$$ и $$2x+4$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
- Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$182$$, а сумма трёх её первых членов равна $$156$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
- Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $$8$$, которые больше $$50$$ и меньше $$180$$.
- Последовательность задана рекуррентно: $$a_1=3$$, $$a_2=5$$, $$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$$. Докажите, что $$a_n=2^n+1$$.
- Найдите сумму $$\frac{1}{v_1+v_8}+\frac{1}{v_8+v_{15}}+\frac{1}{v_{15}+v_{22}}+\ldots+\frac{1}{v_{162}+v_{169}}$$.
1) Это арифметическая прогрессия, где $$a_1=-8{,}1,\quad d=-7{,}9-(-8{,}1)=0{,}2.$$
Ищем первый положительный член:
$$a_n=a_1+d(n-1)=-8{,}1+0{,}2(n-1)>0.$$
$$0{,}2(n-1)>8{,}1,$$
$$n-1>40{,}5,$$
$$n>41{,}5.$$
Значит, первый положительный член — это $$a_{42}.$$
2) Для геометрической прогрессии $$b_1=2,\quad b_6=-64.$$ Тогда
$$b_6=b_1q^5,$$
$$2q^5=-64,$$
$$q^5=-32,$$
$$q=-2.$$
Сумма первых десяти членов:
$$S_{10}=\frac{b_1(q^{10}-1)}{q-1}=\frac{2\bigl((-2)^{10}-1\bigr)}{-2-1}=\frac{2(1024-1)}{-3}=-682.$$
3) Пусть члены геометрической прогрессии равны $$x+1,\; x+5,\; 2x+4.$$ Тогда
$$(x+5)^2=(x+1)(2x+4).$$
Раскроем скобки:
$$x^2+10x+25=2x^2+6x+4,$$
$$x^2-4x-21=0,$$
$$D=16+84=100,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{2}.$$
Получаем:
$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=7.$$
Если $$x=-3,$$ то члены прогрессии:
$$-2,\; 2,\; -2.$$
Если $$x=7,$$ то члены прогрессии:
$$8,\; 12,\; 18.$$
4) Для бесконечной геометрической прогрессии
$$S=\frac{b_1}{1-q}=162,$$
а сумма трёх первых членов равна
$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=156.$$
Из первого уравнения:
$$b_1=162(1-q).$$
Подставим во второе:
$$162(1-q)\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=156,$$
$$162(1-q^3)=156,$$
$$1-q^3=\frac{26}{27},$$
$$q^3=\frac{1}{27},\quad q=\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$b_1=162\left(1-\frac{1}{3}\right)=108.$$
5) Натуральные числа, кратные 8 и лежащие между 50 и 180:
$$56,\;64,\;72,\;80,\;88,\;96,\;104,\;112,\;120,\;128,\;136,\;144,\;152,\;160,\;168,\;176.$$
Это арифметическая прогрессия с $$a_1=56,\; a_{16}=176,\; n=16.$$ Тогда
$$S_{16}=\frac{a_1+a_{16}}{2}\cdot 16=\frac{56+176}{2}\cdot 16=1856.$$
6) Докажем по индукции, что $$a_n=2^n+1.$$
Проверим начальные члены:
$$a_1=3=2^1+1,\qquad a_2=5=2^2+1.$$
Предположим, что для некоторых $$n$$ верно:
$$a_n=2^n+1,\qquad a_{n+1}=2^{n+1}+1.$$
Тогда по рекуррентной формуле
$$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n=3(2^{n+1}+1)-2(2^n+1).$$
$$a_{n+2}=3\cdot 2^{n+1}+3-2^{n+1}-2=2^{n+2}+1.$$
Следовательно, $$a_n=2^n+1$$ для всех натуральных $$n.$$
7) Преобразуем каждый член суммы:
$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{1}}{8-1},\quad \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{8}}{15-8},\quad \ldots$$
Во всех знаменателях получается $$7,$$ поэтому
$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{15}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{162}+\sqrt{169}}$$
$$=\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{1})+(\sqrt{15}-\sqrt{8})+\cdots+(\sqrt{169}-\sqrt{162})}{7}.$$
Сокращая, получаем
$$\frac{\sqrt{169}-\sqrt{1}}{7}=\frac{13-1}{7}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}.$$
Ответ
1) $$42$$; 2) $$-682$$; 3) при $$x=-3$$: $$-2,\;2,\;-2$$, при $$x=7$$: $$8,\;12,\;18$$; 4) $$b_1=108,\; q=\frac13$$; 5) $$1856$$; 6) доказано; 7) $$1\frac{5}{7}$$.
