Вариант 2 Контрольная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения:
1) $$\frac{6P(11)-P(10)}{13P(9)}$$;
2) $$\frac{C(7,4)}{A(6,3)}$$. - В коробке лежат шары, из которых шестнадцать — белые, а остальные — красные. Сколько в коробке красных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется красным, равна $$\frac{5}{9}$$?
- Сколько нечётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5 и 6?
- Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых выполняется неравенство $$3^n?12n-9$$.
- В классе учится 14 девочек и 13 мальчиков. Сколько существует способов сформировать команду из 6 человек для участия в спортивной эстафете, если в команде должно быть 3 девочки и 3 мальчика?
- Из натуральных чисел от 1 до 37 включительно наугад выбирают семь чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не менее двух окажутся кратными числу 4?
1)
$$\frac{6P_{11}-P_{10}}{13P_9}=\frac{6\cdot 11!-10!}{13\cdot 9!}=\frac{6\cdot 11\cdot 10\cdot 9!-10\cdot 9!}{13\cdot 9!}=\frac{660-10}{13}=\frac{650}{13}=50.$$
2)
$$\frac{C_7^4}{A_6^3}=\frac{\frac{7!}{4!\,3!}}{\frac{6!}{3!}}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}.$$
3)
Последняя цифра нечётного четырёхзначного числа должна быть одной из цифр $$1,3,5.$$
Тысячи можно выбрать $$3$$ способами, сотни — $$4$$ способами, десятки — $$3$$ способами, единицы — $$2$$ способами.
$$N=3\cdot 4\cdot 3\cdot 2=72.$$
4)
Проверим натуральные значения $$n$$:
$$3^1=3,\quad 12\cdot 1-9=3;$$
$$3^2=9,\quad 12\cdot 2-9=15;$$
$$3^3=27,\quad 12\cdot 3-9=27.$$
При $$n\ge 4$$ левая часть растёт быстрее правой, и неравенство выполняется. Значит, подходят все натуральные $$n$$, кроме $$n=2$$.
5)
Нужно выбрать $$3$$ девочки из $$14$$ и $$3$$ мальчика из $$13$$:
$$N=C_{14}^3\cdot C_{13}^3=\frac{14!}{11!\,3!}\cdot \frac{13!}{10!\,3!}=364\cdot 286=104104.$$
6)
Кратных числу $$4$$ среди чисел от $$1$$ до $$37$$ ровно $$9$$: $$4,8,12,16,20,24,28,32,36.$$
Ищем вероятность того, что среди выбранных семи чисел будет не менее двух кратных $$4$$. Удобнее найти дополнение:
$$P=1-\frac{C_9^1\cdot C_{28}^6+C_9^0\cdot C_{28}^7}{C_{37}^7}.$$
Так как
$$C_{37}^7=10\,295\,472,\quad C_9^1\cdot C_{28}^6=4\,574\,700,\quad C_9^0\cdot C_{28}^7=1\,184\,040,$$
то
$$P=1-\frac{4\,574\,700+1\,184\,040}{10\,295\,472}\approx 0{,}56.$$
Ответ: 1) $$50$$; 2) $$\frac{7}{24}$$; 3) $$72$$; 4) $$n\ne 2$$; 5) $$104104$$; 6) $$0{,}56$$.
