Вариант 2 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) $$\left(x+6\right)\left(x-1\right)\left(x-7\right)>0$$

Нули функции: $$x=-6,\; x=1,\; x=7.$$

По методу интервалов получаем:

$$x\in(-6;1)\cup(7;+\infty).$$

2) $$\left(x+4\right)\left(6-x\right)^8\left(3x-1\right)^5>0$$

Так как $$\left(6-x\right)^8\ge 0$$ и обращается в нуль при $$x=6,$$ то знак произведения определяется множителем $$\left(x+4\right)\left(3x-1\right)^5.$$

С учётом того, что степень $$5$$ нечётная, имеем:

$$\left(x+4\right)\left(3x-1\right)>0,\qquad x\ne 6.$$

Отсюда:

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>\frac13,\qquad x\ne 6.$$

Значит,

$$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;6\right)\cup(6;+\infty).$$

3) $$\frac{4x}{x^2-6x+5}+\frac{3}{x-1}\ge \frac{2}{x-5}$$

ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 5.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4x}{(x-1)(x-5)}+\frac{3(x-5)}{(x-1)(x-5)}-\frac{2(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0.$$

Тогда

$$\frac{4x+3(x-5)-2(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0,$$

$$\frac{5x-13}{(x-1)(x-5)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=1,\; x=\frac{13}{5},\; x=5.$$

По методу интервалов:

$$x\in\left(1;\frac{13}{5}\right]\cup(5;+\infty).$$

4) $$\left(x^2-49\right)\sqrt{x^2-4}\ge 0$$

ОДЗ: $$x^2-4\ge 0,$$ то есть

$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

Кроме того,

$$x^2-49=(x-7)(x+7).$$

Произведение неотрицательно, если:

$$x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge 7,$$

а также при равенстве нулю корня:

$$x=-2,\; x=2.$$

Итак,

$$x\in(-\infty;-7]\cup\{-2;2\}\cup[7;+\infty).$$

2. $$|x-a|\left(2x^2-x-3\right)\le 0$$

Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение не положительно только тогда, когда

$$|x-a|=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-x-3\le 0.$$

Решим неравенство:

$$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)\le 0,$$

откуда

$$x\in[-1;\tfrac32].$$

Если $$a\in[-1;\tfrac32],$$ то точка $$x=a$$ уже входит в этот промежуток, значит множество решений:

$$x\in[-1;\tfrac32].$$

Если $$a\notin[-1;\tfrac32],$$ то к этому промежутку добавляется ещё точка $$x=a.$$

Итак,

$$x\in \begin{cases} [-1;\tfrac32], & a\in[-1;\tfrac32],\\ [-1;\tfrac32]\cup\{a\}, & a\notin[-1;\tfrac32]. \end{cases}$$