Вариант 2 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 8. Решение квадратных неравенств

1. Решите неравенство:
   
   1) $$x^2+2x-35<0$$;
   2) $$-5x^2+2x-1>0$$;
   
   3) $$4x^2-12x+9>0$$.
2. Найдите область определения функции $$y=\frac{4x-6}{\sqrt{x^2+2x-48}}+\sqrt{20-2x}$$.
3. Решите неравенство $$\left|x^2-6\right|>x+6$$.
4. При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$ax^2+5ax+4a+3<0$$ не имеет решений?

1) $$x^2+2x-35<0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-35)=4+140=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2},\quad x_1=-7,\; x_2=5.$$

Тогда

$$x^2+2x-35=(x+7)(x-5).$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$-7<x<5.$$

Ответ: $$(-7;5).$$

2) $$-5x^2+2x-1>0$$

Умножим неравенство на $$-1$$ и изменим знак:

$$5x^2-2x+1<0.$$

Рассмотрим дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot 1=4-20=-16<0.$$

Так как $$5>0$$, выражение $$5x^2-2x+1$$ всегда положительно, значит неравенство решений не имеет.

Ответ: решений нет.

3) $$4x^2-12x+9>0$$

Преобразуем квадратный трёхчлен:

$$4x^2-12x+9=(2x-3)^2.$$

Тогда

$$(2x-3)^2>0$$

квадрат положителен при всех $$x$$, кроме случая, когда он равен нулю:

$$2x-3\ne 0,\quad x\ne \frac32.$$

Ответ: $$(-\infty;\tfrac32)\cup(\tfrac32;+\infty).$$

2. Область определения функции

$$y=\frac{4x-6}{\sqrt{x^2+2x-48}}+\sqrt{20-2x}$$

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$$x^2+2x-48>0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-48)=4+192=196,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 14}{2},\quad x_1=-8,\; x_2=6.$$

Тогда

$$x^2+2x-48=(x+8)(x-6),$$

и

$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>6.$$

Кроме того, для второго корня:

$$20-2x\ge 0,\quad x\le 10.$$

Пересекаем условия:

$$(-\infty;-8)\cup(6;10].$$

Ответ: $$(-\infty;-8)\cup(6;10].$$

3. $$|x^2-6|>x+6$$

Рассмотрим два случая.

1) $$x^2-6<-x-6$$

$$x^2+x<0$$

$$x(x+1)<0$$

$$-1<x<0.$$

2) $$x^2-6>x+6$$

$$x^2-x-12>0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=1+48=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2},\quad x_1=-3,\; x_2=4.$$

Тогда

$$(x+3)(x-4)>0,$$

откуда

$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>4.$$

Объединяем решения:

Ответ: $$(-\infty;-3)\cup(-1;0)\cup(4;+\infty).$$

4. При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$ax^2+5ax+4a+3<0$$ не имеет решений?

Чтобы неравенство не имело решений, квадратный трёхчлен должен быть неотрицателен при всех $$x$$. Для этого достаточно, чтобы его дискриминант был неположительным и старший коэффициент был положительным:

$$D=(5a)^2-4a(4a+3)=25a^2-16a^2-12a=9a^2-12a=3a(3a-4)\le 0.$$

Отсюда

$$0\le a\le \frac43.$$

Ответ: $$\left[0;\frac43\right].$$