Вариант 2 Самостоятельная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+6x+8.$$

Найдём координаты вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot 1}=-3,$$

$$y_0=f(-3)=(-3)^2+6\cdot(-3)+8=9-18+8=-1.$$

Так как $$a=1>0,$$ ветви параболы направлены вверх, значит, в вершине достигается наименьшее значение функции.

Тогда:

1) область значений функции: $$E(y)=[-1;+\infty);$$

2) функция убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty);$$

3) найдём нули функции:

$$x^2+6x+8=0$$

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)=0,$$

откуда $$x=-4$$ и $$x=-2.$$

Значит,

а) $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-4)\cup(-2;+\infty);$$

б) $$f(x)\le 0$$ при $$x\in[-4;-2].$$

4) На отрезке $$[-4;0]$$:

$$f(-4)=0,\quad f(-3)=-1,\quad f(0)=8.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=8.$$

На отрезке $$[1;3]$$:

$$f(1)=15,\quad f(2)=24,\quad f(3)=35.$$

Следовательно, $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=35.$$

2. Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ при условиях $$a<0,$$ $$c>0,$$ $$-\frac{b}{2a}>0$$ схема графика такая:

• парабола направлена ветвями вниз, так как $$a<0;$$
• пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат, так как $$c>0;$$
• абсцисса вершины положительна, так как $$-\frac{b}{2a}>0.$$

3. Произведение корней уравнения

$$x^2-2ax+a^2-2a+4=0$$

по теореме Виета равно

$$x_1x_2=a^2-2a+4.$$

Рассмотрим выражение:

$$a^2-2a+4=(a-1)^2+3.$$

Минимум этого выражения равен $$3,$$ он достигается при $$a=1.$$

Ответ

1) $$E(y)=[-1;+\infty);$$ функция убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty);$$ $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-4)\cup(-2;+\infty);$$ $$f(x)\le 0$$ при $$x\in[-4;-2];$$ на $$[-4;0]$$: $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=8;$$ на $$[1;3]$$: $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=35.$$

2) Парабола ветвями вниз, пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат, вершина расположена правее оси $$Oy.$$

3) $$a=1.$$