Вариант 2 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим поочерёдно каждую функцию.

1. $$y=\left|\sqrt{x}-4\right|.$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то сначала строим график $$y=\sqrt{x},$$ затем отражаем часть, лежащую ниже прямой $$y=4,$$ относительно этой прямой. Получаем график с вершиной в точке $$\left(16,0\right).$$

2. $$y=\sqrt{|x|-4}.$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$|x|-4\ge 0 \;\Rightarrow\; |x|\ge 4 \;\Rightarrow\; x\le -4 \text{ или } x\ge 4.$$

   График состоит из двух симметричных ветвей, начинающихся в точках $$(-4,0)$$ и $$(4,0).$$

3. $$y=\sqrt{|x-4|}.$$

   Это график функции $$y=\sqrt{|x|}$$, сдвинутый вправо на $$4$$ единицы. Вершина графика находится в точке $$(4,0).$$

4. $$y=\sqrt{|x-4|-4}.$$

   Найдём область определения:

   $$|x-4|-4\ge 0 \;\Rightarrow\; |x-4|\ge 4 \;\Rightarrow\; x\le 0 \text{ или } x\ge 8.$$

   График состоит из двух ветвей с началом в точках $$(0,0)$$ и $$(8,0).$$

2

Так как $$D(f)=[-6;2),$$ то для функции $$|f(|x|)|$$ должно выполняться:

$$|x|\in [-6;2).$$

Но $$|x|\ge 0,$$ значит остаётся только условие

$$|x|<2 \;\Rightarrow\; -2<x<2.$$

Следовательно,

$$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-2;2).$$

Так как $$E(f)=[-5;3),$$ то после взятия модуля получаем значения

$$|f(x)|\in [0;5].$$

При подстановке $$|x|$$ область значений не изменится, значит

$$E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;5].$$

3

Решим уравнение

$$|3|x|-1|=a-x.$$

Левая часть чётная, поэтому удобно рассмотреть случаи по знаку $$x$$.

При $$x\ge 0$$ имеем

$$|3x-1|=a-x.$$

Тогда:

$$3x-1=a-x \quad \text{или} \quad 1-3x=a-x.$$

Отсюда

$$x=\frac{a+1}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{1-a}{2}.$$

Чтобы уравнение имело ровно три корня, один из корней должен быть общим для обеих ветвей, а остальные два — различными. Это происходит при

$$a=\frac13 \quad \text{или} \quad a=1.$$

Ответ:

1) графики построены; 2) $$D=(-2;2),\; E=[0;5];$$ 3) $$a=\frac13,\; 1.$$