Вариант 2 Контрольная работа 4 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Изобразите график неравенства:
1) $$y-3x\,?\,6$$;
2) $$x^2+(y+1)^2\,?\,9$$. - Изобразите на координатной плоскости $$xy$$ множество решений системы неравенств $$\left\{\begin{array}{l}|y|<2,\\x>3.\end{array}\right.$$
- Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 10.
- Докажите неравенство $$x^4+4y^2+9\,?\,-2x^2y+3x^2-6y$$.
- Известно, что $$a>0$$, $$b>0$$ и $$3a+5b=30$$. Найдите наибольшее значение выражения $$ab$$.
- При каких значениях параметра $$a$$ система неравенств $$\left\{\begin{array}{l}x^2+4x-a+5\,?\,0,\\a-x\,?\,5\end{array}\right.$$ имеет решение?
- Докажите неравенство $$\sqrt{1-3x}+\sqrt{6+2x}+\sqrt{5+x}\,?\,6$$.
1) $$y-3x\ge 6$$
Перепишем неравенство в виде $$y\ge 3x+6.$$ Граница — прямая $$y=3x+6$$, она входит в решение, поэтому изображаем её сплошной линией и заштриховываем полуплоскость выше этой прямой.
2) $$x^2+(y+1)^2\le 9$$
Это круг с центром $$(-1)$$ по оси $$y$$, то есть в точке $$\left(0,-1\right)$$, и радиусом $$R=3.$$ Нужно изобразить замкнутый круг вместе с внутренней областью.
3) Система неравенств задаёт область, ограниченную прямыми $$x=3,$$ $$y=2$$ и $$y=-2.$$ Поэтому
$$\begin{cases} x>3,\\ -2<y<2. \end{cases}$$
4) Докажем неравенство:
$$x^4+4y^2+9\ge -2x^2y+3x^2-6y.$$
Перенесём всё в левую часть и преобразуем:
$$\begin{aligned} x^4+4y^2+9+2x^2y-3x^2+6y &\ge 0,\\ (x^4-6x^2+9)+(x^4+4x^2y+4y^2)+(4y^2+12y+9) &\ge 0,\\ (x^2-3)^2+(x^2+2y)^2+(2y+3)^2 &\ge 0. \end{aligned}$$
Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.
5) Пусть $$a>0,$$ $$b>0,$$ $$3a+5b=30.$$ По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
$$3a+5b\ge 2\sqrt{15ab}.$$
Тогда
$$30\ge 2\sqrt{15ab},\qquad 15ab\le 225,\qquad ab\le 15.$$
Наибольшее значение выражения $$ab$$ равно $$15.$$
6) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^2+4x-a+5\le 0,\\ a-x\le 5. \end{cases}$$
Из второго неравенства получаем $$x\ge a-5.$$
Первое неравенство имеет решения, если
$$D=4^2-4(5-a)=16-20+4a=4(a-1)\ge 0,$$
то есть $$a\ge 1.$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{a-1}}{2}=-2\pm \sqrt{a-1}.$$
Чтобы система имела решение, нужно, чтобы правая граница $$x\ge a-5$$ не была правее правого корня:
$$a-5\le -2+\sqrt{a-1}.$$
Положим $$t=\sqrt{a-1}\ge 0.$$ Тогда $$a=t^2+1,$$ и неравенство принимает вид
$$t^2-4\le t-2,$$
откуда
$$t^2-t-2\le 0,\qquad (t-2)(t+1)\le 0.$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$0\le t\le 2,$$ значит
$$1\le a\le 5.$$
7) Докажем неравенство
$$\sqrt{1-3x}+\sqrt{6+2x}+\sqrt{6+x}\le 6.$$
По неравенству Коши:
$$\left(\sqrt{1-3x}+\sqrt{6+2x}+\sqrt{6+x}\right)^2 \le (1-3x+6+2x+6+x)(1+1+1).$$
Тогда
$$\left(\sqrt{1-3x}+\sqrt{6+2x}+\sqrt{6+x}\right)^2\le 12\cdot 3=36,$$
следовательно,
$$\sqrt{1-3x}+\sqrt{6+2x}+\sqrt{6+x}\le 6.$$
Ответ
1) $$y\ge 3x+6.$$ 2) круг с центром $$\left(0,-1\right)$$ и радиусом $$3.$$ 3) $$\begin{cases}x>3,\\-2<y<2.\end{cases}$$ 4) верно. 5) $$15.$$ 6) $$[1;5].$$ 7) верно.
