Вариант 2 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Каковы координаты вершины параболы: 1) $$y=x^2-10$$; 2) $$y=(x-9)^2$$; 3) $$y=(x+14)^2-13$$?
2. Постройте график функции $$y=\sqrt{x}$$. Используя этот график, постройте график функции: 1) $$y=\sqrt{x}+2$$; 2) $$y=2+\sqrt{x-1}$$.
3. Постройте график функции $$y=\frac{3x}{x+4}$$.
4. Сколько корней имеет уравнение $$|x-3|=a-x^2$$ в зависимости от значения параметра $$a$$?

1. Вершина параболы:

1. $$y=x^2-10$$ — вершина $$\left(0;\,-10\right)$$;
2. $$y=(x-9)^2$$ — вершина $$\left(9;\,0\right)$$;
3. $$y=(x+14)^2-13$$ — вершина $$\left(-14;\,-13\right)$$.

2. Построение графиков

1. График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем вверх на $$2$$ единицы. Получаем график $$y=\sqrt{x}+2$$.

   Начальная точка: $$\left(0;\,2\right)$$.

2. График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем вправо на $$1$$ единицу и вверх на $$2$$ единицы. Получаем график $$y=2+\sqrt{x-1}$$.

   Начальная точка: $$\left(1;\,2\right)$$.

3. Построение графика функции

$$y=\frac{3x}{x+4}$$

Преобразуем:

$$y=\frac{3x}{x+4}=\frac{3x+12-12}{x+4}=3-\frac{12}{x+4}.$$

Это гипербола, полученная из графика $$y=-\frac{12}{x}$$ сдвигом на $$4$$ единицы влево и на $$3$$ единицы вверх.

Асимптоты: $$x=-4$$ и $$y=3$$.

4. Уравнение $$|x-3|=a-x^2$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, и

$$x-3=a-x^2 \;\Rightarrow\; x^2+x-(a+3)=0.$$

Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, и

$$3-x=a-x^2 \;\Rightarrow\; x^2-x+(3-a)=0.$$

Для определения числа корней достаточно сравнить графики функций $$y=|x-3|$$ и $$y=a-x^2$$. Точки пересечения зависят от значения параметра $$a$$:

• при $$a<\frac{11}{4}$$ корней нет;
• при $$a=\frac{11}{4}$$ один корень;
• при $$a>\frac{11}{4}$$ два корня.

Ответ

1) $$\left(0;\,-10\right),\ \left(9;\,0\right),\ \left(-14;\,-13\right)$$;

2) графики получаются сдвигом графика $$y=\sqrt{x}$$;

3) $$y=3-\frac{12}{x+4}$$, асимптоты $$x=-4$$ и $$y=3$$;

4) при $$a<\frac{11}{4}$$ корней нет, при $$a=\frac{11}{4}$$ один корень, при $$a>\frac{11}{4}$$ два корня.