Вариант 2 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму $$\frac{3}{4}+\frac{31}{16}+\frac{191}{64}+\ldots+\frac{4^n\cdot4-1}{4^n}.$$
2. Найдите сумму $$\left(3-\frac{1}{3}\right)^2+\left(3^2-\frac{1}{3^2}\right)^2+\left(3^3-\frac{1}{3^3}\right)^2+\ldots+\left(3^n-\frac{1}{3^n}\right)^2.$$
3. Найдите сумму $$\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{5\cdot8}+\frac{1}{8\cdot11}+\ldots+\frac{1}{(3n-1)\cdot(3n+2)}.$$

1) Представим каждый член ряда как разность:

$$\frac34+\frac{31}{16}+\frac{191}{64}+\cdots+\frac{4^n\cdot n-1}{4^n} = \left(1-\frac14\right)+\left(2-\frac1{4^2}\right)+\left(3-\frac1{4^3}\right)+\cdots+\left(n-\frac1{4^n}\right).$$

Тогда

$$S=\left(1+2+3+\cdots+n\right)-\left(\frac14+\frac1{4^2}+\frac1{4^3}+\cdots+\frac1{4^n}\right).$$

Используем формулы:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},$$

$$\frac14+\frac1{4^2}+\cdots+\frac1{4^n} =\frac{\frac14\left(1-\left(\frac14\right)^n\right)}{1-\frac14} =\frac13\left(1-\frac1{4^n}\right).$$

Следовательно,

$$S=\frac{n(n+1)}{2}-\frac13\left(1-\frac1{4^n}\right) =\frac{n(n+1)}{2}-\frac13+\frac{1}{3\cdot 4^n}.$$

2) Раскроем квадраты:

$$\left(3-\frac13\right)^2+\left(3^2-\frac1{3^2}\right)^2+\cdots+\left(3^n-\frac1{3^n}\right)^2$$

$$=\left(3^2-2+\frac1{3^2}\right)+\left(3^4-2+\frac1{3^4}\right)+\cdots+\left(3^{2n}-2+\frac1{3^{2n}}\right).$$

Тогда

$$S=\left(3^2+3^4+\cdots+3^{2n}\right)-2n+\left(\frac1{3^2}+\frac1{3^4}+\cdots+\frac1{3^{2n}}\right).$$

Это две геометрические прогрессии:

$$3^2+3^4+\cdots+3^{2n}=\frac{9(9^n-1)}{9-1}=\frac98(9^n-1),$$

$$\frac1{3^2}+\frac1{3^4}+\cdots+\frac1{3^{2n}} =\frac{\frac19\left(1-\left(\frac19\right)^n\right)}{1-\frac19} =\frac18\left(1-\frac1{9^n}\right).$$

Следовательно,

$$S=\frac98(9^n-1)-2n+\frac18\left(1-\frac1{9^n}\right) =\frac{9^{n+1}}{8}-\frac1{8\cdot 9^n}-2n-1.$$

3) Разложим дробь на разность:

$$\frac1{(2)(5)}+\frac1{(5)(8)}+\frac1{(8)(11)}+\cdots+\frac1{(3n-1)(3n+2)}$$

$$=\frac13\left(\frac12-\frac15+\frac15-\frac18+\frac18-\frac1{11}+\cdots+\frac1{3n-1}-\frac1{3n+2}\right).$$

После сокращения получаем:

$$S=\frac13\left(\frac12-\frac1{3n+2}\right)=\frac16-\frac1{3(3n+2)}.$$

Ответ: 1) $$\frac{n(n+1)}{2}-\frac13+\frac{1}{3\cdot 4^n}$$; 2) $$\frac{9^{n+1}}{8}-\frac1{8\cdot 9^n}-2n-1$$; 3) $$\frac16-\frac1{3(3n+2)}$$.