Вариант 2 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
   1) $$100;\ -20;\ 4;\ \ldots$$;
   2) $$20;\ 4\sqrt{5};\ 4;\ \ldots$$.
2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:
   1) $$0{,}888\ldots$$;
   2) $$5{,}1(26)$$.
3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$, где $$|q|<1$$, сумма членов с нечётными номерами равна $$-32$$, а сумма членов с чётными номерами равна $$8$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1) Для бесконечной геометрической прогрессии $$100;\,-20;\,4;\,\ldots$$ имеем $$b_1=100,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-20}{100}=-\frac15.$$ Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{100}{1-(-\frac15)}=\frac{100}{1+\frac15}=\frac{100}{\frac65}=\frac{500}{6}=83\frac13.$$

2) Для прогрессии $$20;\,4\sqrt5;\,4;\,\ldots$$ получаем

$$b_1=20,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4\sqrt5}{20}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

Тогда

$$S=\frac{20}{1-\frac{\sqrt5}{5}}=\frac{20}{\frac{5-\sqrt5}{5}}=\frac{100}{5-\sqrt5}=\frac{100(5+\sqrt5)}{25-5}=5(5+\sqrt5).$$

3) Пусть сумма членов с нечётными номерами равна $$S_{\text{неч}}=-32,$$ а с чётными номерами $$S_{\text{чет}}=8.$$

Так как суммы нечётных и чётных членов тоже образуют геометрические прогрессии, то

$$S_{\text{чет}}=S_{\text{неч}}\cdot q.$$

Следовательно,

$$8=-32q,\quad q=-\frac14.$$

Сумма всей прогрессии равна

$$S=S_{\text{неч}}+S_{\text{чет}}=-32+8=-24.$$

Но для бесконечной геометрической прогрессии

$$S=\frac{b_1}{1-q},$$

значит

$$-24=\frac{b_1}{1-(-\frac14)}=\frac{b_1}{\frac54},$$

откуда

$$b_1=-24\cdot \frac54=-30.$$

Ответ

1) $$83\frac13$$; 2) $$5(5+\sqrt5)$$; 3) $$b_1=-30,\ q=-\frac14.$$