Вариант 2 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Геометрическая прогрессия $$\left(b_n\right)$$ задана формулой n-го члена $$b_n=18\cdot 3^{n-3}$$. Найдите сумму восьми первых членов прогрессии.
- Сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии равна 2 912. Найдите $$n$$, если первый член прогрессии равен 8, а знаменатель прогрессии равен 3.
- Для любого натурального $$n$$ сумму $$n$$ первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле $$S_n=6(2^n-1)$$. Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.
1) Найдём первые члены прогрессии:
$$b_n=18\cdot 3^{n-3}$$
$$b_1=18\cdot 3^{-2}=18\cdot \frac{1}{9}=2$$
$$b_2=18\cdot 3^{-1}=18\cdot \frac{1}{3}=6$$
Значит, знаменатель прогрессии
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{2}=3.$$
Тогда сумма восьми первых членов:
$$S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\frac{2(3^8-1)}{3-1}.$$
$$S_8=\frac{2(6561-1)}{2}=6560.$$
2) Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Подставим данные:
$$2912=\frac{8(3^n-1)}{3-1}.$$
$$2912=4(3^n-1),$$
$$3^n-1=728,$$
$$3^n=729=3^6.$$
Следовательно, $$n=6.$$
3) Дано:
$$S_n=6(2^n-1).$$
Найдём первые члены последовательности:
$$S_1=6(2-1)=6,$$
$$S_2=6(4-1)=18.$$
Тогда
$$b_1=S_1=6,$$
$$b_2=S_2-S_1=18-6=12.$$
Найдём знаменатель:
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{6}=2.$$
Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{6(2^n-1)}{2-1}=6(2^n-1).$$
Это совпадает с данной формулой, значит, последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: 1) $$6560$$; 2) $$6$$; 3) последовательность является геометрической прогрессией, $$q=2$$.
