Вариант 2 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Между числами $$625$$ и $$16$$ вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
- Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_8=25b_6$$ и $$b_4+b_7=-375$$.
- Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна $$30$$. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно $$4$$ и $$5$$, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.
1) Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$625,\; b_2,\; b_3,\; b_4,\; 16.$$
Тогда $$b_5=b_1q^4,$$ значит
$$625q^4=16,$$
откуда
$$q^4=\frac{16}{625}, \qquad q=\pm \frac{2}{5}.$$
Найдём вставленные числа:
$$b_2=625q=\pm 250,$$
$$b_3=625q^2=100,$$
$$b_4=625q^3=\pm 40.$$
Получаем две прогрессии:
$$625,\; 250,\; 100,\; 40,\; 16$$
или
$$625,\; -250,\; 100,\; -40,\; 16.$$
2) Из условия $$b_8=25b_6$$ получаем
$$b_1q^7=25b_1q^5,$$
так как $$b_n=b_1q^{n-1}.$$
Если $$b_1\neq 0,$$ то
$$q^2=25,\qquad q=\pm 5.$$
Используем второе условие $$b_4+b_7=-375.$$
Так как $$b_4=b_1q^3,\; b_7=b_1q^6,$$ то
$$b_1q^3+b_1q^6=-375.$$
1-й случай: $$q=5.$$ Тогда
$$125b_1+15625b_1=-375,$$
$$15750b_1=-375,$$
$$b_1=-\frac{1}{42}.$$
2-й случай: $$q=-5.$$ Тогда
$$-125b_1+15625b_1=-375,$$
$$15500b_1=-375,$$
$$b_1=-\frac{3}{124}.$$
Итак, возможны два ответа:
$$b_1=-\frac{1}{42},\; q=5$$
или
$$b_1=-\frac{3}{124},\; q=-5.$$
3) Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$10-d,\; 10,\; 10+d,$$ так как их сумма равна $$30.$$
После изменений получаем числа
$$10-d,\; 6,\; 5+d.$$
Они образуют геометрическую прогрессию, значит
$$6^2=(10-d)(5+d).$$
Тогда
$$36=50+10d-5d-d^2,$$
$$d^2-5d-14=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=25+56=81,$$
$$d=\frac{5\pm 9}{2}.$$
Получаем:
$$d=7 \quad \text{или} \quad d=-2.$$
Если $$d=7,$$ то исходные числа:
$$3,\; 10,\; 17.$$
Если $$d=-2,$$ то исходные числа:
$$12,\; 10,\; 8.$$
Ответ: 1) $$625,\; 250,\; 100,\; 40,\; 16$$ или $$625,\; -250,\; 100,\; -40,\; 16$$; 2) $$b_1=-\frac{1}{42},\; q=5$$ или $$b_1=-\frac{3}{124},\; q=-5$$; 3) $$12,\; 10,\; 8$$ или $$3,\; 10,\; 17.$$
