Вариант 2 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 30. Арифметическая прогрессия

1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии $$-3,6;\ -3,3;\ -3;\ \ldots$$.
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_5+a_{13}=38$$ и $$a_4+a_8=29$$.
3. При каком значении $$b$$ значения выражений $$3b+1,\ 4b-1,\ b^2+b$$ и $$b^2+b+1$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

1. Для арифметической прогрессии $$-3{,}6;\,-3{,}3;\,-3;\ldots$$ имеем

   $$a_1=-3{,}6,\quad d=-3{,}3-(-3{,}6)=0{,}3.$$

   Общий член:

   $$a_n=a_1+d(n-1)=-3{,}6+0{,}3(n-1).$$

   Найдём первый положительный член:

   $$-3{,}6+0{,}3(n-1)>0$$

   $$0{,}3n-3{,}9>0$$

   $$0{,}3n>3{,}9$$

   $$n>13.$$

   Значит, наименьшее целое $$n=14$$.

2. Пусть $$a_n=a_1+d(n-1).$$ Тогда

   $$a_5+a_{13}=38 \Rightarrow (a_1+4d)+(a_1+12d)=38,$$

   $$2a_1+16d=38,$$

   $$a_1+8d=19.$$

   Из второго условия:

   $$a_4+a_8=29 \Rightarrow (a_1+3d)+(a_1+7d)=29,$$

   $$2a_1+10d=29.$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$6d=9,\quad d=1{,}5.$$

   Тогда

   $$a_1=19-8\cdot 1{,}5=7.$$

3. Чтобы числа $$3b+1,\;4b-1,\;b^2+b,\;b^2+b+1$$ были последовательными членами арифметической прогрессии, разности соседних членов должны быть равны:

   $$2(4b-1)=(3b+1)+(b^2+b),$$

   $$2(b^2+b)=(4b-1)+(b^2+b+1).$$

   Из первого равенства:

   $$8b-2=b^2+4b+1,$$

   $$b^2-4b+3=0,$$

   $$(b-1)(b-3)=0,$$

   $$b=1 \text{ или } b=3.$$

   Из второго равенства:

   $$2b^2+2b=b^2+5b,$$

   $$b^2-3b=0,$$

   $$b(b-3)=0,$$

   $$b=0 \text{ или } b=3.$$

   Общее значение: $$b=3.$$ Тогда члены прогрессии:

   $$3b+1=10,\quad 4b-1=11,\quad b^2+b=12,\quad b^2+b+1=13.$$

Ответ

1) $$14$$; 2) $$a_1=7,\ d=1{,}5$$; 3) $$b=3,$$ члены прогрессии: $$10,\ 11,\ 12,\ 13.$$