Вариант 2 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Функция $$f$$ чётная. Может ли выполняться равенство $$f(6)\cdot f(-6)=-1$$?
- Исследуйте на чётность функцию:
1) $$y=\frac{x^6+2x^5}{x+2}$$;
2) $$y=x^4+x$$;
3) $$y=v(7-x)+v(7+x)$$. - Известно, что $$\min_{[-6;\,-3]} f(x)=1$$, $$\max_{[-6;\,-3]} f(x)=4$$. Найдите $$\min_{[3;\,6]} f(x)$$ и $$\max_{[3;\,6]} f(x)$$, если:
1) $$f$$ — чётная функция;
2) $$f$$ — нечётная функция. - При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^4-ax^2+a^2-a-2=0$$ имеет три корня?
1. Так как функция чётная, то $$f(-6)=f(6).$$ Тогда
$$f(6)\cdot f(-6)=f(6)\cdot f(6)=(f(6))^2.$$
Но квадрат числа не может быть равен $$-1$$. Значит, такое равенство невозможно.
Ответ
Нет.
Решение
2. Исследуем функцию на чётность.
$$y=\frac{x^6+2x^5}{x+2}, \quad x\ne -2.$$
Область определения не симметрична относительно нуля, так как при $$x=2$$ функция определена, а при $$x=-2$$ — нет. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$y=x^4+x, \quad x\in \mathbb{R}.$$
Найдём значение при $$-x$$:
$$y(-x)=(-x)^4+(-x)=x^4-x.$$
Получили, что $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x)$$. Значит, функция общего вида.
$$y=\sqrt{7-x}+\sqrt{7+x}.$$
Область определения: $$7-x\ge 0$$ и $$7+x\ge 0$$, то есть $$-7\le x\le 7.$$
Тогда
$$y(-x)=\sqrt{7-(-x)}+\sqrt{7+(-x)}=\sqrt{7+x}+\sqrt{7-x}=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.
Ответ
1) общего вида; 2) общего вида; 3) чётная.
Решение
3. Известно, что
$$\min_{[-6;-3]} f(x)=1,\qquad \max_{[-6;-3]} f(x)=4.$$
Если $$f$$ — чётная функция, то значения на симметричном промежутке $$[3;6]$$ такие же, как на $$[-6;-3]$$. Поэтому
$$\min_{[3;6]} f(x)=1,\qquad \max_{[3;6]} f(x)=4.$$
Если $$f$$ — нечётная функция, то при переходе к симметричному промежутку значения меняют знак. Значит,
$$\min_{[3;6]} f(x)=-4,\qquad \max_{[3;6]} f(x)=-1.$$
Ответ
1) $$\min_{[3;6]} f(x)=1,\ \max_{[3;6]} f(x)=4$$; 2) $$\min_{[3;6]} f(x)=-4,\ \max_{[3;6]} f(x)=-1$$.
Решение
4. Рассмотрим уравнение
$$x^4-ax^2+a^2-a-2=0.$$
Это уравнение чётное, поэтому если $$x_0$$ — корень, то и $$-x_0$$ — корень. Чтобы корней было три, один из них должен быть $$x=0$$.
Подставим $$x=0$$:
$$a^2-a-2=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=1+8=9,$$
$$a_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
Получаем:
$$a_1=-1,\qquad a_2=2.$$
Проверим:
при $$a=-1$$
$$x^4+x^2=0 \Rightarrow x^2(x^2+1)=0,$$
откуда единственный действительный корень $$x=0$$;
при $$a=2$$
$$x^4-2x^2=0 \Rightarrow x^2(x^2-2)=0,$$
откуда корни $$x=0,\ x=\pm \sqrt{2}.$$
Итак, три корня уравнение имеет только при $$a=2$$.
Ответ
$$a=2.$$
