Вариант 2 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 29. Числовые последовательности
- Найдите три первых члена последовательности $$(a_n)$$, если $$a_1=2,\quad a_{n+1}=2a_n-3$$.
- Последовательность $$(y_n)$$ задана формулой n-го члена $$y_n=3-5n$$. Является ли членом этой последовательности число: 1) 23; 2) −247? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
- Последовательность $$(a_n)$$ задана формулой n-го члена $$a_n=-n^2+5n-5$$. Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа −19.
- Найдите все такие значения $$a$$, при которых последовательность, заданная условиями $$x_1=a,\quad x_{n+1}=x_n^2-6x_n+6$$, является стационарной.
1. Найдём первые три члена последовательности:
$$a_1=2,$$
$$a_2=2a_1-3=2\cdot 2-3=1,$$
$$a_3=2a_2-3=2\cdot 1-3=-1.$$
Ответ: $$2;\ 1;\ -1.$$
2. Проверим, является ли число членом последовательности $$y_n=3-5n$$.
1) $$3-5n=23$$
$$-5n=20,\quad n=-4.$$
Так как номер члена последовательности должен быть натуральным, число $$23$$ не является членом последовательности.
2) $$3-5n=-247$$
$$-5n=-250,\quad n=50.$$
Это натуральное число, значит, $$-247$$ является членом последовательности и стоит под номером $$50$$.
Ответ: 1) нет; 2) да, $$50$$.
3. Найдём, сколько членов последовательности $$a_n=-n^2+5n-5$$ больше числа $$-19$$:
$$-n^2+5n-5>-19$$
$$-n^2+5n+14>0$$
$$n^2-5n-14<0$$
$$\left(n-7\right)\left(n+2\right)<0.$$
Отсюда
$$-2<n<7.$$
Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=1,2,3,4,5,6$$. Таких членов $$6$$.
Ответ: $$6.$$
4. Последовательность будет стационарной, если все её члены равны одному и тому же числу. Тогда должно выполняться:
$$x_1=a,\quad x_{n+1}=x_n^2-6x_n+6,$$
то есть
$$a=a^2-6a+6.$$
Получаем уравнение:
$$a^2-7a+6=0.$$
$$D=49-24=25,$$
$$a_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2}.$$
$$a_1=1,\quad a_2=6.$$
Проверка показывает, что при этих значениях последовательность действительно стационарна.
Ответ: $$1;\ 6.$$
