Вариант 2 Контрольная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$x^2-6x+y^2+10y+34=0$$.
- Постройте график уравнения $$\lvert y+x^2\rvert=\lvert x^2-4\rvert$$.
- Решите системы уравнений:
1) $$\begin{cases}2x-y=4,\\2xy-y^2=-8;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}3xy+2=\dfrac{y^3}{x},\\2xy+1=\dfrac{x^3}{y};\end{cases}$$
3) $$\begin{cases}3x^2-2xy-y^2=4,\\x^2+3xy+3y^2=1.\end{cases}$$ - При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\begin{cases}x^2+(y-a)^2=9,\\y+3\lvert x\rvert-2=0\end{cases}$$ имеет единственное решение?
1) Преобразуем уравнение к виду суммы квадратов:
$$x^2-6x+y^2+10y+34=0$$
$$\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2+10y+25\right)=0$$
$$\left(x-3\right)^2+\left(y+5\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-3=0,\quad y+5=0$$
$$x=3,\quad y=-5$$
Ответ: $$(3;\,-5).$$
2) Рассмотрим модуль по частям:
$$|y+x^2|=|x^2-4|$$
Если $$y+x^2=x^2-4,$$ то
$$y=-4.$$
Если $$y+x^2=-(x^2-4),$$ то
$$y=4-2x^2.$$
Значит, график уравнения состоит из двух графиков:
$$y=-4$$
и
$$y=4-2x^2.$$
Это прямая и парабола с вершиной в точке $$(0;\,4).$$
Ответ: график — объединение прямой $$y=-4$$ и параболы $$y=4-2x^2.$$
3.1) Из первого уравнения:
$$y=2x-4.$$
Подставим во второе:
$$2x(2x-4)-(2x-4)^2=-8$$
$$4x^2-8x-\left(4x^2-16x+16\right)=-8$$
$$8x-16=-8$$
$$8x=8,\quad x=1.$$
Тогда
$$y=2\cdot 1-4=-2.$$
Ответ: $$(1;\,-2).$$
3.2) Перепишем систему:
$$3xy+2=\frac{y^3}{x},\qquad 2xy+1=\frac{x^3}{y}.$$
Умножим уравнения на $$x$$ и $$y$$ соответственно:
$$3x^2y+2x=y^3,$$
$$2xy^2+y=x^3.$$
Удобнее перемножить исходные уравнения:
$$\left(3xy+2\right)\left(2xy+1\right)=x^2y^2.$$
Обозначим $$t=xy.$$ Тогда
$$\left(3t+2\right)\left(2t+1\right)=t^2$$
$$6t^2+7t+2=t^2$$
$$5t^2+7t+2=0.$$
$$D=7^2-4\cdot 5\cdot 2=49-40=9.$$
$$t_1=\frac{-7-3}{10}=-1,\qquad t_2=\frac{-7+3}{10}=-\frac25.$$
Если $$xy=-1,$$ то из первого уравнения получаем $$y=-\frac1x,$$ и тогда
$$3x\left(-\frac1x\right)+2=-1,$$
что верно. Подходит, например, $$x=1,\ y=-1$$ и $$x=-1,\ y=1.$$
Если $$xy=-\frac25,$$ то подстановка в систему приводит к противоречию, поэтому этот случай не подходит.
Ответ: $$( -1;\,1),\ (1;\,-1).$$
3.3) Из второго уравнения:
$$x^2+3xy+3y^2=1.$$
Умножим его на $$4$$:
$$4x^2+12xy+12y^2=4.$$
Вычтем первое уравнение:
$$\left(4x^2+12xy+12y^2\right)-\left(3x^2-2xy-y^2\right)=4-4,$$
$$x^2+14xy+13y^2=0.$$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$x^2+14yx+13y^2=0.$$
$$D=196y^2-52y^2=144y^2.$$
$$x=\frac{-14y\pm 12|y|}{2}.$$
Получаем два случая:
$$x=-13y \quad \text{или} \quad x=-y.$$
1) Если $$x=-13y,$$ то
$$169y^2-39y^2+3y^2=1,$$
$$133y^2=1,$$
$$y=\pm \frac1{\sqrt{133}},\quad x=\mp \frac{13}{\sqrt{133}}.$$
2) Если $$x=-y,$$ то
$$y^2-3y^2+3y^2=1,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1,\quad x=\mp 1.$$
Ответ: $$( -1;\,1),\ (1;\,-1),\ \left(-\frac{13}{\sqrt{133}};\,\frac1{\sqrt{133}}\right),\ \left(\frac{13}{\sqrt{133}};\,-\frac1{\sqrt{133}}\right).$$
4) Из второго уравнения:
$$y=2-3|x|.$$
Подставим в первое:
$$x^2+\left(2-3|x|-a\right)^2=9.$$
Пусть $$t=|x|\ge 0.$$ Тогда $$x^2=t^2,$$ и получаем
$$t^2+\left(2-3t-a\right)^2=9.$$
Чтобы система имела единственное решение, прямая $$y=2-3|x|$$ должна касаться окружности $$x^2+(y-a)^2=9$$ в одной точке. Это возможно только при касании в вершине графика $$y=2-3|x|,$$ то есть в точке $$(0;\,2).$$
Подставим её в уравнение окружности:
$$0^2+(2-a)^2=9$$
$$|2-a|=3.$$
Отсюда
$$a=5 \quad \text{или} \quad a=-1.$$
Но при $$a=-1$$ окружность проходит через обе симметричные точки пересечения с ветвями графика, поэтому единственное решение получается только при $$a=5.$$
Ответ: $$5.$$
