Вариант 2 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{12}{n+5}\cdot C(n+6,n+4)$$.
2. Решите в натуральных числах уравнение $$A(x+1,2)+C(x+5,x+3)=97$$.
3. В ремонтной организации работают 15 маляров и 10 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 маляров и 3 штукатуров?
4. Есть 16 карандашей разного цвета. Сколькими способами можно составить набор из 5 карандашей, если синий и зелёный карандаши не могут одновременно входить в набор?

1. Упростим выражение:

$$\frac{12}{n+5}\cdot C_{n+6}^{\,n+4}=\frac{12}{n+5}\cdot \frac{(n+6)!}{(n+4)!\,2!}$$

$$=\frac{12}{n+5}\cdot \frac{(n+6)(n+5)}{2}=6(n+6).$$

2. Решим уравнение:

$$A_{x+1}^{\,2}+C_{x+5}^{\,x+3}=97$$

$$\frac{(x+1)!}{(x-1)!}+\frac{(x+5)!}{(x+3)!\,2!}=97$$

$$x(x+1)+\frac{(x+5)(x+4)}{2}=97$$

$$2x(x+1)+(x+5)(x+4)=194$$

$$2x^2+2x+x^2+9x+20=194$$

$$3x^2+11x-174=0$$

$$D=11^2-4\cdot 3\cdot(-174)=121+2088=2209$$

$$x=\frac{-11\pm 47}{6}$$

$$x_1=-\frac{29}{3},\quad x_2=6.$$

Так как $$x$$ — натуральное число, получаем $$x=6.$$

3. Число способов составить бригаду из 5 маляров и 3 штукатуров:

$$N=C_{15}^{\,5}\cdot C_{10}^{\,3}=\frac{15!}{10!\,5!}\cdot \frac{10!}{7!\,3!}$$

$$N=3003\cdot 120=360360.$$

4. Всего наборов из 5 карандашей без ограничения:

$$C_{16}^{\,5}.$$

Вычтем наборы, в которые одновременно входят синий и зелёный карандаши. Тогда остаётся выбрать ещё 3 карандаша из 14:

$$C_{14}^{\,3}.$$

Итак,

$$N=C_{16}^{\,5}-C_{14}^{\,3}=4368-364=4004.$$

Ответ: 1) $$6(n+6)$$; 2) $$6$$; 3) $$360360$$; 4) $$4004$$.