Вариант 2 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 24. Размещения
- В девятом классе учится $$30$$ человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и его заместителя?
- Решите в натуральных числах уравнение:
1) $$A(x+5,2)=182$$;
2) $$\frac{P(x+6)}{A(x+3,4)\cdot P(x-1)}=336$$. - Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр $$1, 2, 3, 4, 5, 6$$ так, чтобы цифры не повторялись и последние две цифры были нечётными?
1) Число способов выбрать старосту и его заместителя — это число размещений из $$30$$ по $$2$$:
$$A_{30}^{2}=\frac{30!}{28!}=30\cdot 29=870.$$
2) Решим уравнения.
1) $$A_{x+5}^{2}=182.$$
По формуле размещений:
$$A_{x+5}^{2}=\frac{(x+5)!}{(x+3)!}=(x+5)(x+4).$$
Тогда
$$(x+5)(x+4)=182 \\\\ x^2+9x+20=182 \\\\ x^2+9x-162=0.$$
Найдём корни:
$$D=9^2-4\cdot 1\cdot(-162)=81+648=729, \quad \sqrt{D}=27.$$
$$x_{1}=\frac{-9-27}{2}=-18,\qquad x_{2}=\frac{-9+27}{2}=9.$$
Так как $$x$$ — натуральное число, подходит только $$x=9$$.
2) $$\frac{P_{x+6}}{A_{x+3}^{4}\cdot P_{x-1}}=336.$$
Используем формулы:
$$P_{x+6}=(x+6)!, \qquad A_{x+3}^{4}=\frac{(x+3)!}{(x-1)!}, \qquad P_{x-1}=(x-1)!.$$
Тогда
$$\frac{(x+6)!}{\frac{(x+3)!}{(x-1)!}\cdot (x-1)!}=336$$
$$\frac{(x+6)!}{(x+3)!}=(x+6)(x+5)(x+4)=336.$$
Проверим натуральные значения:
$$x=2:\quad 8\cdot 7\cdot 6=336.$$
Значит, $$x=2$$.
3) Нужно составить четырёхзначные числа из цифр $$1,2,3,4,5,6$$ без повторений, причём последние две цифры должны быть нечётными.
Нечётные цифры: $$1,3,5$$.
Для последних двух мест выбираем и расставляем две нечётные цифры:
$$A_3^2=3\cdot 2=6.$$
Для первых двух мест остаются $$4$$ цифры, их можно расставить:
$$A_4^2=4\cdot 3=12.$$
Итого:
$$6\cdot 12=72.$$
Ответ
1) $$870$$; 2) $$1)$$ $$9$$, $$2)$$ $$2$$; 3) $$72$$.
