Вариант 2 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $$n$$ выполняется равенство $$1+11+21+\ldots+10n-9=n(5n-4)$$.
- Докажите неравенство $$5^n>4n+3$$, где $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\geq2$$.
- Докажите, что для любого натурального $$n$$ значение выражения $$24^n+37\cdot5^n$$ кратно 19.
1. Докажем по индукции равенство $$1+11+21+\dots+(10n-9)=n(5n-4).$$
При $$n=1$$ получаем:
$$1=1\cdot(5\cdot 1-4)=1.$$
Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:
$$1+11+21+\dots+(10k-9)=k(5k-4).$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$\begin{aligned} 1+11+21+\dots+(10k-9)+(10(k+1)-9) &=k(5k-4)+10k+1 \\ &=5k^2-4k+10k+1 \\ &=5k^2+6k+1 \\ &=(k+1)(5k+1) \\ &=(k+1)\bigl(5(k+1)-4\bigr). \end{aligned}$$
Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.
2. Докажем неравенство $$5^n>4n+3$$ при $$n\in \mathbb{N},\ n\ge 2.$$
При $$n=2$$:
$$5^2=25,\qquad 4\cdot 2+3=11,\qquad 25>11.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$5^k>4k+3.$$
Тогда для $$n=k+1$$ имеем:
$$\begin{aligned} 5^{k+1}-(4(k+1)+3) &=5\cdot 5^k-4k-7 \\ &=5(5^k-4k-3)+16k+8. \end{aligned}$$
Так как $$5^k-4k-3>0$$ и $$16k+8>0$$, то
$$5^{k+1}-(4(k+1)+3)>0,$$
значит, $$5^{k+1}>4(k+1)+3.$$
Следовательно, неравенство верно при всех $$n\ge 2$$.
3. Докажем, что выражение $$24^n+37\cdot 5^n$$ кратно $$19$$ при любом натуральном $$n$$.
При $$n=1$$:
$$24+37\cdot 5=209,\qquad 209:19.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$24^k+37\cdot 5^k$$ делится на $$19.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$\begin{aligned} 24^{k+1}+37\cdot 5^{k+1} &=24\cdot 24^k+37\cdot 5\cdot 5^k \\ &=24(24^k+37\cdot 5^k)-19\cdot 37\cdot 5^k. \end{aligned}$$
Первое слагаемое делится на $$19$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$19$$. Значит, и сумма делится на $$19$$.
Следовательно, $$24^n+37\cdot 5^n$$ кратно $$19$$ при любом натуральном $$n$$.
