Вариант 2 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- На рисунке 3 изображён график функции $$y=f(x)$$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) $$\min_{\mathbb{R}} f(x)$$; $$\max_{\mathbb{R}} f(x)$$;
5) $$\min_{[-2;0]} f(x)$$; $$\max_{[-2;0]} f(x)$$. - Докажите, что функция $$f(x)=\frac{5}{x+2}$$ убывает на промежутке $$(-2;+\infty)$$.
- Найдите $$\min_{D(f)} f(x)$$ и $$\max_{D(f)} f(x)$$, если $$f(x)=4-\sqrt{4-x^2}$$.
- Убывающая функция $$f$$ определена на множестве $$\mathbb{R}$$. Возрастающей или убывающей является функция $$f(g(x))$$, если $$g(x)=3x-1$$?
- Решите уравнение $$x^3+4\sqrt{2x+11}=11$$.
1) По графику получаем:
- нули функции: $$x=-2$$ и $$x=4$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x<-2$$ и $$x>4$$;
- функция возрастает на $$[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;1]$$;
- $$\min\limits_{\mathbb{R}} f(x)=-9,$$ $$\max\limits_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует;
- $$\min\limits_{[-2;0]} f(x)=-8,$$ $$\max\limits_{[-2;0]} f(x)=0.$$
Ход решения
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{5}{x+2}$$ на промежутке $$(-2;+\infty)$$.
Если $$x_2>x_1>-2,$$ то $$x_2+2>x_1+2>0,$$ значит
$$\frac{1}{x_2+2}<\frac{1}{x_1+2}.$$
Умножая на положительное число $$5,$$ получаем
$$\frac{5}{x_2+2}<\frac{5}{x_1+2}.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-2;+\infty).$$
3) $$f(x)=4-\sqrt{4-x^2}.$$
Найдём область определения: $$4-x^2\ge 0,$$ откуда $$x\in[-2;2].$$
Так как $$0\le \sqrt{4-x^2}\le 2,$$ то
$$2\le 4-\sqrt{4-x^2}\le 4.$$
Значит,
$$\min\limits_{D(f)} f(x)=2,\qquad \max\limits_{D(f)} f(x)=4.$$
4) Функция $$f$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)=3x-1$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как при $$x_2>x_1$$ имеем $$g(x_2)>g(x_1).$$
Для убывающей функции из $$g(x_2)>g(x_1)$$ следует
$$f(g(x_2))<f(g(x_1)).$$
Значит, функция $$f(g(x))$$ убывает.
5) Решим уравнение
$$x^3+4\sqrt{2x+11}=11.$$
Перенесём всё в одну часть:
$$x^3-11=-4\sqrt{2x+11}.$$
Правая часть не положительна, значит и левая должна быть не положительна. Проверим значение $$x=-1$$:
$$(-1)^3+4\sqrt{2\cdot(-1)+11}=-1+4\sqrt{9}=-1+12=11.$$
Следовательно, $$x=-1$$ — решение.
Так как левая часть $$x^3-11$$ возрастает, а правая часть $$-4\sqrt{2x+11}$$ убывает, уравнение имеет единственное решение.
Ответ
1) $$x=-2,\ 4$$; $$f(x)>0$$ при $$x<-2$$ и $$x>4$$; возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;1]$$; $$\min\limits_{\mathbb{R}} f(x)=-9$$, $$\max\limits_{\mathbb{R}} f(x)$$ не существует; $$\min\limits_{[-2;0]} f(x)=-8$$, $$\max\limits_{[-2;0]} f(x)=0$$.
2) Убывает на $$(-2;+\infty).$$
3) $$\min\limits_{D(f)} f(x)=2,\ \max\limits_{D(f)} f(x)=4.$$
4) Убывает.
5) $$x=-1.$$
