Вариант 2 Контрольная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) $$8x^2-9x+1\le 0$$

$$D=(-9)^2-4\cdot 8\cdot 1=81-32=49$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{16}$$

$$x_1=\frac18,\quad x_2=1$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\frac18\le x\le 1$$

Ответ: $$\left[\frac18;1\right]$$

2) $$25x^2+10x+1>0$$

$$25x^2+10x+1=(5x+1)^2$$

Квадрат числа больше нуля при всех $$x$$, кроме случая, когда он равен нулю:

$$5x+1\ne 0,\quad x\ne -\frac15$$

Ответ: $$(-\infty;-\tfrac15)\cup(-\tfrac15;+\infty)$$

3) $$-5x^2+4x-9<0$$

$$5x^2-4x+9>0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 9=16-180=-164<0$$

Так как $$a=5>0$$ и дискриминант отрицателен, то выражение $$5x^2-4x+9$$ положительно при всех $$x$$.

Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$

2. Найдём область определения функции

$$f(x)=\frac{\sqrt{15+2x-x^2}}{x^2-3x-4}$$

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю:

$$15+2x-x^2\ge 0$$

$$x^2-2x-15\le 0$$

$$(x-5)(x+3)\le 0,\quad -3\le x\le 5$$

$$x^2-3x-4\ne 0$$

$$(x-4)(x+1)\ne 0,\quad x\ne 4,\ x\ne -1$$

Итак,

$$D(f)=[-3;5]\setminus\{-1,4\}=[-3;-1)\cup(-1;4)\cup(4;5]$$

Ответ: $$[-3;-1)\cup(-1;4)\cup(4;5]$$

3. Решим систему

$$\begin{cases} x^2+x-2>0,\\ |x-2|\le 5 \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)>0$$

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>1$$

Второе неравенство:

$$|x-2|\le 5$$

$$-5\le x-2\le 5$$

$$-3\le x\le 7$$

Пересечение решений:

$$[-3;-2)\cup(1;7]$$

Ответ: $$[-3;-2)\cup(1;7]$$

4) $$(x+9)(x-2)(x+1)<0$$

Нули: $$x=-9,\,-1,\,2$$. По методу интервалов получаем

$$(-\infty;-9)\cup(-1;2)$$

Ответ: $$(-\infty;-9)\cup(-1;2)$$

5) $$(x+3)(1-x)(x+6)^2\ge 0$$

Так как $$(x+6)^2\ge 0$$ при всех $$x$$, то знак выражения определяется множителем $$(x+3)(1-x)$$, а также точкой $$x=-6$$, где всё выражение равно нулю.

Решаем:

$$(x+3)(1-x)\ge 0$$

$$-3\le x\le 1$$

Добавляем точку $$x=-6$$:

$$\{-6\}\cup[-3;1]$$

Ответ: $$\{-6\}\cup[-3;1]$$

6) $$\frac{x}{x+2}-\frac{4}{x-5}+\frac{9x-1}{x^2-3x-10}\le 0$$

ОДЗ:

$$x\ne -2,\quad x\ne 5$$

Приведём к общему знаменателю:

$$x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$$

$$\frac{x(x-5)-4(x+2)+(9x-1)}{(x+2)(x-5)}\le 0$$

$$\frac{x^2-5x-4x-8+9x-1}{(x+2)(x-5)}\le 0$$

$$\frac{x^2-9}{(x+2)(x-5)}\le 0$$

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-5)}\le 0$$

По методу интервалов:

$$[-3;-2)\cup[3;5)$$

Ответ: $$[-3;-2)\cup[3;5)$$

5.1) $$|x^2-12x+25|<3x-11$$

Правая часть должна быть положительной:

$$3x-11>0,\quad x>\frac{11}{3}$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x^2-12x+25<3x-11,\\ -(x^2-12x+25)<3x-11 \end{cases}$$

То есть

$$x^2-15x+36<0$$

$$(x-3)(x-12)<0$$

$$3<x<12$$

С учётом условия $$x>\frac{11}{3}$$ получаем

$$\left(\frac{11}{3};12\right)$$

Ответ: $$\left(\frac{11}{3};12\right)$$

5.2) $$|x^2+5x+1|>2x+5$$

Если $$2x+5<0$$, то неравенство верно при любых $$x$$ из этой области:

$$x<-\frac52$$

Если $$2x+5\ge 0$$, то

$$\begin{cases} x^2+5x+1>2x+5,\\ x^2+5x+1<-2x-5 \end{cases}$$

Из первого:

$$x^2+3x-4>0$$

$$(x+4)(x-1)>0$$

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>1$$

Из второго:

$$x^2+7x+6<0$$

$$(x+1)(x+6)<0$$

$$-6<x<-1$$

Объединяя все случаи, получаем

$$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

Ответ: $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

6. Пусть все корни уравнения

$$x^2-2ax+a^2-a-10=0$$

больше $$2$$.

Сделаем замену $$x=t+2$$. Тогда

$$(t+2)^2-2a(t+2)+a^2-a-10=0$$

$$t^2+(4-2a)t+(a^2-5a-6)=0$$

Чтобы оба корня были положительны, нужно:

$$\begin{cases} 4-2a<0,\\ a^2-5a-6>0,\\ D\ge 0 \end{cases}$$

Из первого:

$$a>2$$

Из второго:

$$(a-6)(a+1)>0$$

$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>6$$

С учётом $$a>2$$ получаем

$$a>6$$

Ответ: $$a\in(6;+\infty)$$