Вариант 2 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Самостоятельная работа № 19. Математическое моделирование
- Из двух сёл, расстояние между которыми равно $$50\ \text{км}$$, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через $$2\ \text{ч}$$. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на путь из одного села в другое на $$1\ \text{ч}\ 40\ \text{мин}$$ меньше, чем другой.
- Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать дорогу за $$6\ \text{ч}$$. Если же сначала первая бригада самостоятельно отремонтирует $$\frac{3}{5}$$ дороги, а потом вторая — оставшуюся часть дороги, то весь ремонт будет выполнен за $$12\ \text{ч}$$. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?
- В двух сплавах массы меди и олова относятся как $$3:4$$ и $$1:6$$ соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить $$42\ \text{кг}$$ нового сплава, в котором массы меди и олова относятся как $$5:16$$?
1. Обозначим скорости велосипедистов: $$x$$ км/ч и $$y$$ км/ч.
Тогда за 2 ч они вместе проехали 50 км:
$$2(x+y)=50,$$
откуда
$$x+y=25,$$
$$y=25-x.$$
По условию, на путь из одного села в другое один велосипедист тратит на $$1\text{ ч }40\text{ мин}=\frac{5}{3}\text{ ч}$$ меньше, чем другой:
$$\frac{50}{x}-\frac{50}{y}=\frac{5}{3}.$$
Подставим $$y=25-x$$:
$$\frac{50}{x}-\frac{50}{25-x}=\frac{5}{3}.$$
Умножим на $$3x(25-x)$$:
$$150(25-x)-150x=5x(25-x),$$
$$3750-300x=125x-5x^2,$$
$$x^2-85x+750=0.$$
$$D=85^2-4\cdot 750=4225,$$
$$x=\frac{85\pm 65}{2}.$$
Получаем $$x=10$$ или $$x=75$$. Значение $$x=75$$ не подходит, так как тогда $$y=25-75<0$$.
Значит, $$x=10$$, $$y=15$$.
2. Пусть первая бригада может выполнить работу за $$x$$ ч, а вторая — за $$y$$ ч.
Тогда их совместная производительность равна:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}.$$
Если сначала первая бригада выполнит $$\frac{3}{5}$$ дороги, а затем вторая — оставшуюся часть $$\frac{2}{5}$$, то получим:
$$\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}y=12.$$
Умножим на $$5$$:
$$3x+2y=60,$$
$$y=30-\frac{3}{2}x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{30-\frac{3}{2}x}=\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6x\left(30-\frac{3}{2}x\right)$$:
$$6\left(30-\frac{3}{2}x\right)+6x=x\left(30-\frac{3}{2}x\right),$$
$$180-9x+6x=30x-\frac{3}{2}x^2,$$
$$\frac{3}{2}x^2-33x+180=0,$$
$$x^2-22x+120=0.$$
$$D=22^2-4\cdot 120=4,$$
$$x=\frac{22\pm 2}{2}.$$
Получаем $$x=10$$ или $$x=12$$.
Если $$x=10$$, то $$y=15$$; если $$x=12$$, то $$y=12$$.
Проверка показывает, что условию задачи соответствует пара $$x=10$$, $$y=15$$.
3. Пусть масса первого сплава равна $$x$$ кг, второго — $$y$$ кг.
Тогда
$$x+y=42.$$
В первом сплаве меди $$\frac{3}{7}$$, во втором — $$\frac{1}{7}$$, а в новом сплаве меди $$\frac{5}{21}$$ от общей массы. Составим уравнение по меди:
$$\frac{3}{7}x+\frac{1}{7}y=42\cdot \frac{5}{21}.$$
Так как $$42\cdot \frac{5}{21}=10$$, получаем:
$$\frac{3}{7}x+\frac{1}{7}(42-x)=10,$$
$$\frac{2}{7}x+6=10,$$
$$\frac{2}{7}x=4,$$
$$x=14.$$
Тогда
$$y=42-14=28.$$
Ответ: 1) $$10$$ км/ч и $$15$$ км/ч; 2) $$10$$ ч и $$15$$ ч; 3) $$14$$ кг и $$28$$ кг.
