Вариант 2 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Самостоятельная работа № 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши—Буняковского

1. Для положительных чисел $$x$$ и $$y$$ докажите неравенство $$\frac{112x}{y}+\frac{y}{28x}\ge4$$.
2. При $$a>3$$ докажите неравенство $$a+\frac{1}{a-3}\ge5$$.
3. Известно, что $$a^2+b^2=18$$, $$c^2+d^2=8$$. Докажите, что $$|ac-bd|\le12$$.
4. Известно, что $$x+y=2$$. Докажите, что $$\sqrt{x^2+4y^2}+\sqrt{y^2+4x^2}\ge3\sqrt{2}$$.

1. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:

$$\frac{112x}{y}+\frac{y}{28x}\ge 2\sqrt{\frac{112x}{y}\cdot\frac{y}{28x}}=2\sqrt{4}=4.$$

Следовательно, требуемое неравенство доказано.

2. Так как $$a>3,$$ то $$a-3>0.$$ Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$a-3+\frac{1}{a-3}\ge 2\sqrt{(a-3)\cdot\frac{1}{a-3}}=2.$$

Тогда

$$a+\frac{1}{a-3}\ge 5.$$

Неравенство доказано.

3. По неравенству Коши-Буняковского:

$$|ac-bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.$$

Подставим данные значения:

$$|ac-bd|\le \sqrt{18\cdot 8}=\sqrt{144}=12.$$

Что и требовалось доказать.

4. Так как $$x+y=2,$$ то применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\sqrt{x^2+4y^2}+\sqrt{y^2+4x^2}\ge \frac{x+2y}{\sqrt2}+\frac{y+2x}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$\frac{x+2y+y+2x}{\sqrt2}=\frac{3(x+y)}{\sqrt2}=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2+4y^2}+\sqrt{y^2+4x^2}\ge 3\sqrt2.$$

Что и требовалось доказать.