Вариант 2 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   
   1) $$16x^2-8xy+3y^2\geq 0$$;
   
   2) $$m^2n^2+m^2+4n^2+9\geq 10mn$$;
   
   3) $$\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+4)}<\frac{1}{4}$$, где $$n\in\mathbb{N}$$.
2. Известно, что $$a\in[0;2]$$, $$b\in[0;2]$$, $$c\in[0;2]$$. Докажите неравенство
   $$\frac{a}{4+b}+\frac{b}{4+c}+\frac{c}{4+a}\leq 1$$.

1) $$16x^2-8xy+3y^2=16x^2-8xy+y^2+2y^2=(4x-y)^2+2y^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство доказано.

2) $$m^2n^2+m^2+4n^2+9-10mn=m^2n^2-6mn+9+m^2-4mn+4n^2=(mn-3)^2+(m-2n)^2\ge 0.$$

Значит, $$m^2n^2+m^2+4n^2+9\ge 10mn.$$

3) Заметим, что

$$\frac1{1\cdot 5}+\frac1{5\cdot 9}+\cdots+\frac1{(4n-3)(4n+1)}$$

можно представить так:

$$\frac14\left(1-\frac15+\frac15-\frac19+\cdots+\frac1{4n-3}-\frac1{4n+1}\right).$$

Тогда

$$\frac14\left(1-\frac1{4n+1}\right)<\frac14,$$

так как $$\frac1{4n+1}>0.$$

Следовательно, неравенство доказано.

4) $$9c^2+a^2+4-3cd+6c-2d=18c^2+2d^2+8-6cd+12c+4d$$

$$=d^2+4d+4+d^2-6cd+9c^2+9c^2+12c+4=(d+2)^2+(d-3c)^2+(3c+2)^2\ge 0.$$

Значит, $$9c^2+a^2+4\ge 3cd-6c-2d.$$

5) Так как $$a,b,c\in[0;2],$$ то

$$a+b\le 4,\quad b+c\le 4,\quad c+a\le 4.$$

Отсюда

$$4+b\ge a+b+c,\quad 4+c\ge a+b+c,\quad 4+a\ge a+b+c.$$

Тогда

$$\frac{a}{4+b}+\frac{b}{4+c}+\frac{c}{4+a}\le \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Все неравенства доказаны.